"완전제곱식"을 이용해 이차식을 인수분해하는 방법에 대해 배워 봅시다. 예를 들어, x²+6x+9는 (x+3)² 으로 표현됩니다.
다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 이것은 전개의 반대 과정입니다.
이번 단원에서는 특정 규칙을 이용해 완전제곱식 형태의 삼항식을 인수분해 하는 방법을 배울 것입니다. 이 과정은 이차식의 제곱 과정의 역에 해당되며, 수업을 진행하기 전에 한번 짚고 넘어가세요.

완전제곱식을 이용한 인수분해란?

이항식을 전개할 때는 다음 공식을 따르면 됩니다.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2(\blueD a+\greenD b)^2=\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
  • (ab)2=a22ab+b2(\blueD a-\greenD b)^2=\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
aabb는 임의의 대수식입니다. 예를 들어, (x+5)2(x+5)^2 을 전개한다고 할 때, a=x\blueD{a}=\blueD x 이며 b=5\greenD b=\greenD5 입니다.
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
곱셈을 이용해 (x+5)2(x+5)^2 을 전개하면 공식을 확인할 수 있습니다.
전개 과정의 반대는 인수분해를 하는 것입니다. 방정식을 반대 반향으로 다시 써 보면 a2±2ab+b2a^2\pm2ab+b^2 의 인수분해 공식을 확인할 수 있습니다.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
  • a22ab+b2 =(ab)2\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a-\greenD b)^2
첫 번째 공식은 x2+10x+25x^2+10x+25 에 적용할 수 있습니다. 이 경우, a=x\blueD a=\blueD x 이며 b=5\greenD b=\greenD 5 입니다.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
이러한 형태의 식을 완전제곱식이라고 합니다. 항이 세 개인 다항식은 완전제곱꼴로 나타낼 수 있습니다.
이 공식을 이용해 연습문제의 완전제곱식을 인수분해해 봅시다.

연습 문제 1: x2+8x+16x^2+8x+16 의 인수분해

첫 번째 항과 마지막 항은 각각 x2=(x)2x^2=(\blueD x)^216=(4)216=(\greenD4)^2 으로 완전제곱꼴입니다. 또한, 가운데 항은 2(x)(4)=8x2(\blueD x)(\greenD 4)=8x 로 상수항의 제곱근의 두 배입니다.
이는 다항식이 완전제곱식이라는 것을 나타냅니다. 따라서 다음의 인수분해 공식을 사용할 수 있습니다.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
여기서 a=x\blueD{a}=\blueD{x}, b=4\greenD{b}=\greenD{4} 입니다. 다항식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
(x+4)2(x+4)^2 을 전개하여 맞는지 확인해 봅시다:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

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연습 문제 2: 4x2+12x+94x^2+12x+9 의 인수분해

완전제곱식의 최고차항 계수가 11일 필요는 없습니다.
4x2+12x+94x^2+12x+9 가 있을 때, 첫 번째 항과 마지막 항은 각각 4x2=(2x)24x^2=(\blueD {2x})^29=(3)29=(\greenD3)^2 으로 완전제곱꼴입니다. 또한 가운데 항은 2(2x)(3)=12x2(\blueD {2x})(\greenD 3)=12x 로 상수항의 제곱근의 두 배입니다.
위의 조건을 만족하므로 4x2+12x+94x^2+12x+9 는 완전제곱식입니다. 따라서 다음의 인수분해 공식을 사용할 수 있습니다.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
여기서 a=2x\blueD{a}=\blueD{2x}, b=3\greenD{b}=\greenD{3} 입니다. 다항식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
(2x+3)2(2x+3)^2 을 전개하여 맞는지 확인해 봅시다.

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