제곱의 차를 이용한 인수분해 : 최고차항의 계수 ≠ 1

이 식을 인수분해 할 수 있을지 알아봅시다 45x^2 - 125 이런 식을 살펴보면 차수가 2인 항이 있고 뺄셈 기호가 있네요 이걸 보니 합차공식이 떠오르는군요 우리는 이런 식을 이미 여러번 봤습니다 이렇게 a^2-b^2의 꼴을 가진 식을 (a+b)(a-b) 로 인수분해할 수 있다는 것을 알고있죠 그러면, 여길 봅시다 이 왼쪽 항이 제곱형태인지 잘 모르겠고 오른 쪽 항 또한 제곱형태인지 잘 모르겠네요 결국 두 항이 모두 완벽한 제곱형태는 아닙니다 그래서 이 식이 합차 공식으로 볼 수 있는 것인지 확신할 수 없겠군요 하지만 흥미로운 점은 바로 45와 125가 공통의 약수를 갖는 다는 것입니다 바로 5 입니다 그럼 이 식을 5로 나누었을 때 우리가 원했던 모양과 비슷해 지는지 확인해 봅시다 5를 따로 뺀 다음 식을 변형해봅시다 45x^2은 5로 나누면 9x^2이 되고 125는 5로 나누면 25가 됩니다 아주 재미있습니다 9x^2 완벽한 제곱 꼴이네요 이 항을 a 제곱으로 본다면 a는 3x 가 되겠습니다 비슷하게, 25는 5를 제곱한 것입니다 그러므로, 위 형태와 비교해보면 b는 5가 되겠네요 과연 합차 공식의 꼴이 되었습니다 그럼 완벽히 인수분해할 수 있겠네요 물론 앞의 5도 빼놓지않고 인수분해 해야 합니다 5 곱하기 (a + b) 5 곱하기 (a+b) 곱하기 (a-b) a가 3x 였고 b 가 5였죠 자 이제 완성되었습니다 5 ( 3x-5) (3x+5) 바로 45x^2 - 125의 인수분해 된 꼴입니다