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코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 5: 이차식의 인수분해란?

이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1

구글 클래스룸

x²+5x+6=(x+2)(x+3) 으로 나타내는 것처럼 이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하면 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 이는 다항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해주는 것입니다. 이에 대해 더 알아보고 싶다면 공통인수로 다항식 인수분해하기를 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는

x^{2} + b x + c

꼴의 다항식을 인수분해해서 두 개의 이항식의 곱으로 나타내는 방법을 배울 것입니다.

복습하기: 이항식의 곱셈

(x + 2) (x + 4)

가 있습니다.

분배법칙을 여러 번 적용해서 곱셈을 할 수 있습니다.

약어인

F O I L

를 이용하여 두 개의 이항식을 곱할 수 있습니다.

이 방법을 통해 첫 번째 이항식의 각 항을 두 번째 이항식의 각 항에 곱할 수 있습니다. 즉 이항식의

첫째항(First)

외항(Outer)

내항(Inner)

과

마지막항(Last)

을 순서대로 곱해서 나타낼 수 있습니다.

예를 들어, FOIL을 이용하면

(x + 2) (x + 4)

는 다음과 같을 것입니다:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

맞는 방법이지만, FOIL 방식은 조금 어색할 것입니다. 이 방법은 분배법칙을 두 번 적용했을 때, 첫 번째 이항식의 각 항을 두 번째 이항식의 각 항에 곱하는 것으로 이해하는 편이 쉽습니다.

따라서

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

입니다.

x^{2} + 6 x + 8

의 인수는

x + 2

와

x + 4

입니다. 하지만, 처음부터 인수의 곱셈으로 시작하지 않았다면 인수를 어떻게 찾을 수 있을까요?

삼항식의 인수분해

위에서 살펴본 이항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해서 삼항식(항이

3

개인 다항식)을 인수분해할 수 있습니다.

다시 말해, 다항식

x^{2} + 6 x + 8

을

(x + 2) (x + 4)

와 같이 두 개의 이항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

연습문제를 몇 개 풀어 봅시다.

연습문제 1: $x^{2} + 5 x + 6$ ‍ 인수분해하기

x^{2} + 5 x + 6

을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 상수인

6

이 되고 더하면

x

의 계수인

5

가 되는 두 수를 찾아야 합니다.

2 \cdot 3 = 6

과

2 + 3 = 5

이므로, 두 수는

2

와

3

입니다.

곱하면

6

이 되는 모든 수를 목록으로 만든 후, 그중 합이

5

가 되는 수를 찾아봅시다.

곱: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

각 수를

x

에 더하여

(x + 2)

와

(x + 3)

과 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다.

따라서, 삼항식을 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

인수분해가 잘 되었는지 확인하기 위해 두 이항식을 곱해 봅시다:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

x + 2

와

x + 3

의 곱은

x^{2} + 5 x + 6

입니다. 인수분해가 올바르게 되었습니다.

이해했는지 확인하기

1) $x^{2} + 7 x + 10$ ‍ 을 인수분해하세요.

x^{2} + 7 x + 10

을 인수분해하기 위해서, 합이

7

이 되는

10

의 인수들을 찾아야 합니다.

다음은

10

의 인수가 될 수 있는 모든 인수와 그 인수의 합을 나타낸 표입니다.

곱: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

문제의 조건을 만족하는 인수는

2

와

5

한 쌍뿐입니다.

각 수를

x

에 더하여

(x + 2)

와

(x + 5)

와 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다. 다항식의 인수분해는 아래와 같습니다.

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

1) $x^{2} + 9 x + 20$ ‍ 을 인수분해하세요.

x^{2} + 9 x + 20

을 인수분해하기 위해서, 합이

9

가 되는

20

의 인수들을 찾아야 합니다.

다음은

20

의 인수가 될 수 있는 모든 수와 그 수의 합을 나타낸 표입니다.

곱: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

문제의 조건을 만족하는 인수는

4

와

5

한 쌍뿐입니다.

각 수를

x

에 더하여

(x + 4)

와

(x + 5)

와 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다. 다항식의 인수분해는 아래와 같습니다.

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

연습문제를 더 풀어 봅시다.

연습문제 2: $x^{2} - 5 x + 6$ ‍ 인수분해하기

x^{2} - 5 x + 6

을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면

6

이 되고 더하면

- 5

가 되는 두 수를 찾아야 합니다.

(- 2) \cdot (- 3) = 6

과

(- 2) + (- 3) = - 5

이므로 두 수는

- 2

와

- 3

입니다.

곱하여

6

이 되는 모든 수를 목록으로 만든 후, 그중 합이

- 5

가 되는 수를 찾아봅시다.

곱: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

각 수를

x

에 더하여

(x + (- 2))

와

(x + (- 3))

과 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.

인수분해를 하면 다음과 같습니다:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

인수분해 규칙:

x^{2} - 5 x + 6

을 인수분해하기 위해 필요한 수는

- 2

와

- 3

입니다. 두 수의 곱은 양수인

(6)

이 되어야 하며, 합은 음수인

(- 5)

가 되어야 하기 때문입니다.

보통

x^{2} + b x + c

를 인수분해할 때

b

는 음수이고

c

가 양수이면, 두 인수는 모두 음수일 것입니다.

연습문제 3: $x^{2} - x - 6$ ‍ 인수분해하기

x^{2} - x - 6

은

x^{2} - 1 x - 6

과 같이 나타낼 수 있습니다.

x^{2} - 1 x - 6

을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면

- 6

이 되고 더하면

- 1

이 되는 두 수를 찾아야 합니다.

(2) \cdot (- 3) = - 6

과

2 + (- 3) = - 1

이므로, 두 수는

2

와

- 3

입니다.

곱하여

- 6

이 되는 모든 수를 목록으로 만든 후, 그중 합이

- 1

이 되는 수를 찾아봅시다.

곱: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot 6 = - 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot (- 6) = - 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

각 수를

x

에 더하여

(x + 2)

와

(x + (- 3))

과 같은 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.

인수분해를 하면 다음과 같습니다:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

인수분해 규칙:

x^{2} - x - 6

을 인수분해하기 위해 필요한 수는 양수

(2)

와 음수

(- 3)

입니다. 두 수의 곱이 음수

(- 6)

이 되어야 하기 때문입니다.

보통

x^{2} + b x + c

를 인수분해할 때

c

가 음수이면, 두 인수는 각각 양수와 음수일 것입니다.

요약

보통

x^{2} + b x + c

꼴인 삼항식을 인수분해하려면, 합이

b

가 되는

c

의 인수들을 찾아야 합니다.

c = m n

과

b = m + n

의 조건을 만족하는 두 수

m

과

n

이 두 수에 해당된다고 가정하면,

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

입니다.

이해했는지 확인하기

3) $x^{2} - 8 x - 9$ ‍ 를 인수분해하세요.

x^{2} - 8 x - 9

를 인수분해하기 위해서, 합이

- 8

이 되는

- 9

의 인수들을 찾아야 합니다.

두 수의 곱은

- 9

이므로, 두 수는 각각 양수와 음수가 되어야 합니다.

- 9

의 인수는 다음과 같습니다.

곱: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

1

과

- 9

는 조건을 만족합니다. 각 수를

x

에 더하여

(x + 1)

과

(x + (- 9))

와 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다. 다항식의 인수분해는 다음과 같습니다.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) $x^{2} - 10 x + 24$ ‍ 를 인수분해하세요.

x^{2} - 10 x + 24

를 인수분해하기 위해서, 합이

- 10

이 되는

24

의 인수들을 찾아야 합니다.

두 수의 곱은

24

이며 합은

- 10

이므로, 두 수는 모두 음수가 되어야 합니다.

모두 음수인

24

의 인수는 다음과 같습니다.

곱: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

- 4

와

- 6

은 조건을 만족합니다. 각 수를

x

에 더하여

(x + (- 4))

와

(x + (- 6))

과 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다. 다항식의 인수분해는 다음과 같습니다.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) $x^{2} + 7 x - 30$ ‍ 을 인수분해하세요.

x^{2} + 7 x - 30

을 인수분해하기 위해서, 합이

7

이 되는

- 30

의 인수들을 찾아야 합니다.

두 수의 곱은

- 30

이므로. 두 수는 각각 양수와 음수가 되어야 합니다.

- 30

의 인수는 다음과 같습니다.

곱: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	합: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = - 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = - 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot (- 6) = - 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

- 3

과

10

은 조건을 만족합니다. 각 수를

x

에 더하여

(x + (- 3))

과

(x + (10))

와 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다. 다항식의 인수분해는 다음과 같습니다.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

왜 이렇게 될까요?

위의 인수분해 방법을 적용할 수 있었던 이유를 알아보기 위해,

x^{2} + 5 x + 6

을

(x + 2) (x + 3)

으로 인수분해했던 기존 연습문제로 돌아가 봅시다.

돌아가서 두 개의 이항식 인수를 곱하면

2

와

3

이 수식

x^{2} + 5 x + 6

에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있습니다.

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

x

항의 계수는

2

와

3

의 합이며, 상수항은

2

와

3

의 곱입니다.

합과 곱을 이용한 $x^{2}$ ‍의 계수가 $1$ ‍인 이차식의 인수분해

(x + 2) (x + 3)

에 적용했던 것을

(x + m) (x + n)

에도 적용해 봅시다.

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

이 과정을 요약하면 다음과 같습니다:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

이것을 합과 곱을 이용한 $x^{2}$ ‍의 계수가 $1$ ‍인 이차식의 인수분해라고 합니다.

삼항식

x^{2} + b x + c

를

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

꼴로 표현했을 때

m

과

n

이

b = m + n

와

c = m \cdot n

을 만족한다면, 이 삼항식을

(x + m) (x + n)

으로 인수분해할 수 있습니다.

복습문제

6) $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍ 을 인수분해하기 위해 위와 같은 방법을 사용할 수 있을까요?

위의 방법은 어떤 경우에 이용할 수 있을까요?

일반적으로 합과 곱을 이용한

x^{2}

의 계수가

1

인 이차식의 인수분해 방법은 임의의 정수

m

과

n

에 대해 삼항식이

(x + m) (x + n)

의 꼴로 표현될 때에만 이용할 수 있습니다.

합과 곱을 이용한 인수분해 방법을 이용하려면 삼항식의 최고차항이 반드시 계수가

1

인

x^{2}

이 되어야 합니다.

(x + m)

과

(x + n)

의 곱은 항상 최고차항이

x^{2}

인 다항식이 되기 때문입니다.

그러나, 최고차항이

x^{2}

인 모든 종류의 삼항식이 인수분해되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 합이

2

이고 곱이

2

일 때는 두 개의 정수를 정할 수 없으므로

x^{2} + 2 x + 2

는 인수분해할 수 없습니다.

앞으로 다양한 다항식을 인수분해하는 여러 가지 방법을 익혀 보겠습니다.

심화문제

7*) $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍ 을 인수분해하세요.

8*) $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍ 을 인수분해하세요.

이 다항식은

x^{2} + b x + c

꼴입니다. 대입하면 보기 쉬워질 것입니다.

Y = x^{2}

이라고 할 때, 다항식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

(- 2) \cdot (- 3) = 6

과

(- 2) + (- 3) = - 5

가 성립하므로, 다항식은 다음과 같이 인수분해됩니다:

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

Y = x^{2}

이므로, 역으로 다시 대입하여 기존 다항식의 인수분해된 형태를 찾을 수 있습니다.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

인수분해된 형태는

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

입니다.

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Sukyun Youn
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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

이번 단원에서 배우는 것

복습하기: 이항식의 곱셈

삼항식의 인수분해

연습문제 1: x2+5x+6‍ 인수분해하기

이해했는지 확인하기

연습문제 2: x2−5x+6‍ 인수분해하기

연습문제 3: x2−x−6‍ 인수분해하기

요약

이해했는지 확인하기

왜 이렇게 될까요?

합과 곱을 이용한 x2‍ 의 계수가 1‍ 인 이차식의 인수분해

복습문제

위의 방법은 어떤 경우에 이용할 수 있을까요?

심화문제

대화에 참여하고 싶으신가요?

연습문제 1: $x^{2} + 5 x + 6$ ‍ 인수분해하기

연습문제 2: $x^{2} - 5 x + 6$ ‍ 인수분해하기

연습문제 3: $x^{2} - x - 6$ ‍ 인수분해하기

합과 곱을 이용한 $x^{2}$ ‍의 계수가 $1$ ‍인 이차식의 인수분해