이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1

 x²+5x+6=(x+2)(x+3) 으로 나타내는 것처럼 이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해 하면 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 이는 다항식의 곱셈 과정을 역으로 진행하는 것입니다. 더 살펴보고 싶으면 공약수로 묶어주기 를 확인하세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 x2+bx+cx^2+bx+c 꼴의 다항식을 인수분해해서 두 개의 이항식의 곱으로 나타내는 방법을 배울 것입니다.

복습하기: 이항식의 곱셈

(x+2)(x+4)(x+2)(x+4) 가 있습니다.
분배법칙을 여러 번 적용해서 곱셈을 할 수 있습니다.
따라서 (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4)=x^2+6x+8 입니다.
x2+6x+8x^2+6x+8 의 인수는 x+2x+2x+4x+4 입니다. 하지만, 처음부터 인수의 곱셈으로 시작하지 않았다면 인수를 어떻게 찾을 수 있을까요?

삼항식의 인수분해

위에서 살펴본 이항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해서 삼항식(항이 33개인 다항식)을 인수분해할 수 있습니다.
다시 말해, 다항식 x2+6x+8x^2+6x+8(x+2)(x+4)(x+2)(x+4) 와 같이 두 개의 이항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
연습문제를 몇 개 풀어 봅시다.

연습문제 1: x2+5x+6x^2+5x+6 인수분해하기

x2+5x+6x^2+\goldD5x+\purpleC6 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 상수인 6\purpleC 6이 되고 더하면 xx의 계수인 5\goldD 5가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
23=6\blueD{2}\cdot \greenD{3} =62+3=5\blueD2+\greenD3=5 이므로, 두 수는 2\blueD{2}3\greenD{3}입니다.
각 수를 xx에 더하여 (x+2)(x+\blueD2)(x+3)(x+\greenD3) 과 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다.
따라서, 삼항식을 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
인수분해가 잘 되었는지 확인하기 위해 두 이항식을 곱해 봅시다:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
x+2x+2x+3x+3 의 곱은 x2+5x+6x^2+5x+6 입니다. 인수분해가 올바르게 되었습니다.

이해했는지 확인하기

연습문제를 더 풀어 봅시다.

연습문제 2: x25x+6x^2-5x+6 인수분해하기

x25x+6x^2\goldD{-5}x+\purpleC6 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 6\purpleC{6}이 되고 더하면 5\goldD{-5}가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
(2)(3)=6(\blueD{-2})\cdot (\greenD{-3}) =6(2)+(3)=5(\blueD{-2})+(\greenD{-3})=-5 이므로 두 수는 2\blueD{-2}3\greenD{-3}입니다.
각 수를 xx에 더하여 (x+(2))(x+(\blueD{-2}))(x+(3))(x+(\greenD{-3}))과 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
인수분해 규칙: x25x+6x^2-5x+6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 2{{-2}}3{{-3}}입니다. 두 수의 곱은 양수인 (6)(6)이 되어야 하며, 합은 음수인 (5)(-5)가 되어야 하기 때문입니다.
보통 x2+bx+cx^2+bx+c 를 인수분해할 때 bb 는 음수이고 cc 가 양수이면, 두 인수는 모두 음수일 것입니다.

연습문제 3: x2x6x^2-x-6 인수분해하기

x2x6x^2-x-6x21x6x^2-1x-6 과 같이 나타낼 수 있습니다.
x21x6x^2\goldD{-1}x\purpleC{-6} 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 6\purpleC{-6} 이 되고 더하면 1\goldD{-1} 이 되는 두 수를 찾아야 합니다.
(2)(3)=6(\blueD{2})\cdot (\greenD{-3}) =-62+(3)=1\blueD{2}+(\greenD{-3})=-1 이므로, 두 수는 2\blueD{2}3\greenD{-3}입니다.
각 수를 xx에 더하여 (x+2)(x+\blueD2)(x+(3))(x+(\greenD{-3})) 과 같은 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
인수분해 규칙: x2x6x^2-x-6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 양수 (2)(2)와 음수 (3)(-3)입니다. 두 수의 곱이 음수 (6)(-6)이 되어야 하기 때문입니다.
보통 x2+bx+cx^2+bx+c 를 인수분해할 때 cc 가 음수이면, 두 인수는 각각 양수와 음수일 것입니다.

요약하기

보통 x2+bx+cx^2+\goldD bx+\purpleC c 꼴인 삼항식을 인수분해하려면, 합이 b\goldD b가 되는 c\purpleC c의 인수들을 찾아야 합니다.
c=mnc=mnb=m+nb=m+n 의 조건을 만족하는 두 수 mmnn이 두 수에 해당된다고 가정하면, x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2+bx+c=(x+m)(x+n) 입니다.

이해했는지 확인하기

왜 이렇게 될까요?

위의 인수분해 방법을 적용할 수 있었던 이유를 알아보기 위해, x2+5x+6x^2+5x+6(x+2)(x+3)(x+2)(x+3) 으로 인수분해했던 기존 연습문제로 돌아가 봅시다.
돌아가서 두 개의 이항식 인수를 곱하면 2\blueD23\greenD3이 수식 x2+5x+6x^2+5x+6 에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있습니다.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
xx항의 계수는 2\blueD23\greenD3이며, 상수항은 2\blueD23\greenD3입니다.

합과 곱을 이용한 x²의 계수가 1인 이차식의 인수분해

(x+2)(x+3)(x+\blueD 2)(x+\greenD3) 에 적용했던 것을 (x+m)(x+n)(x+\blueD m)(x+\greenD n) 에도 적용해 봅시다.
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
이 과정을 요약하면 다음과 같습니다:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn(x+\blueD m)(x+\greenD n)=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n
이것을 합과 곱을 이용한 x2x^2의 계수가 11인 이차식의 인수분해라고 합니다.
삼항식 x2+bx+cx^2+\goldD bx+\purpleC cx2+(m+n)x+mnx^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n 꼴로 표현했을 때 m\blueD mn\greenD nb=m+n\goldD b=\blueD m+\greenD nc=mn\purpleC c=\blueD m\cdot\greenD n 을 만족한다면, 이 삼항식을 (x+m)(x+n)(x+\blueD m)(x+\greenD n) 으로 인수분해할 수 있습니다.

복습문제

위의 방법은 어떤 경우에 이용할 수 있을까요?

일반적으로 합과 곱을 이용한 x2x^2의 계수가 11인 이차식의 인수분해 방법은 임의의 정수 mmnn에 대해 삼항식이 (x+m)(x+n)(x+m)(x+n) 의 꼴로 표현될 때에만 이용할 수 있습니다.
합과 곱을 이용한 인수분해 방법을 이용하려면 삼항식의 최고차항이 반드시 계수가 11x2x^2이 되어야 합니다. (x+m)(x+m)(x+n)(x+n) 의 곱은 항상 최고차항이 x2x^2인 다항식이 되기 때문입니다.
그러나, 최고차항이 x2x^2인 모든 종류의 삼항식이 인수분해되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 합이 22이고 곱이 22일 때는 두 개의 정수를 정할 수 없으므로 x2+2x+2x^2+2x+2 는 인수분해할 수 없습니다.
앞으로 다양한 다항식을 인수분해하는 여러 가지 방법을 익혀 보겠습니다.

심화문제

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