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복합부등식에 대한 문제들을 풀어 볼게요 복합부등식이란 여러 개의 부등식을 동시에 만족시키는 해를 구하는 것입니다 금방 무슨 뜻인지 이해하실 수 있을 거예요 첫 번째 부등식은 -5는 x - 4보다 작거나 같고 x - 4는 13보다 작거나 같다입니다 이 문제에서는 x가 두 개의 부등식을 동시에 만족해야 합니다 x - 4 는 -5보다 크거나 같고 x - 4 는 13보다 작거나 같습니다 이 복합부등식을 다른 방식으로 표현할 수 있어요 -5 ≤ x - 4 와 x - 4 ≤ 13으로 나누어볼게요 두 부등식의 해를 따로 구해볼게요 복합부등식을 두 개의 부등식으로 나눈 것을 생각한다면 해는 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식을 동시에 만족시켜야 합니다 일단 부등식을 풀어볼게요 양변에 4를 더해줍니다 좌변은 -5 더하기 4는 -1이 나오죠 -1 은 x 보다 작습니다 우변에 있는 4는 소거되고 x 만 남아있습니다 첫 번째 부등식의 해는 -1 ≤ x라고 할 수 있어요 반대로 써도 됩니다 x ≥ -1라고 말이죠 두 식은 서로 같습니다 변을 서로 바꿔주기만 했죠 다음 부등식은 초록색으로 풀어볼게요 양변에 4를 더해주겠습니다 좌변은 x 만 남고 우변은 13 더하기 4의 결과인 17이 나옵니다 그러므로 x ≤ 17가 나옵니다 종합해보면 x는 -1 보다 크거나 같아야 하고 17보다 작거나 같아야 합니다 원한다면 이 해를 다시 합쳐서 쓸 수 있습니다 -1 ≤ x ≤ 17이라고 쓸 수 있겠네요 두 조건을 동시에 만족하는 해입니다 수직선으로 표현해 볼까요? 이곳에 수직선을 그릴께요 여기를 17이라 하고 여길 18이라 할게요 계속 내려가서 이 정도면 0이겠죠 숫자를 건너뛰면서 적고 있어요 여기에 -1이 있고 -2는 여기입니다 그렇다면 x는 -1보다 크거나 같으니까 -1부터 시작할 거예요 크거나 같으니까 경계에 색칠한 원을 그릴게요 x는 -1보다 크거나 같지만 17보다는 작거나 같습니다 17과 같을 수도 있고 작을 수도 있어요 여기 그린 선분 위의 수가 복합부등식의 해입니다 주황색으로 칠한 선이죠 해를 구간으로 쓰고 싶으면 x는 -1과 17사이에 있고 -1과 같을 수 있으니 대괄호를 쓰고 17과도 같을 수 있으니 똑같이 대괄호를 써 줍니다 이렇게 복합부등식의 해를 구간으로 나타내보았습니다 다른 문제를 풀어보죠 -12가 있다고 가정하겠습니다 제가 찾은 문제에서 조금 바꿔볼게요 -12 < 2 - 5x ≤ 7이라는 복합부등식이 있습니다 이하와 미만이 함께 있는 문제를 풀어보고 싶었습니다 제가 보고 있는 책에는 둘 다 이하로 나와 있지만 한 쪽은 미만으로 바꿔보았어요 왜냐하면 여러 가지 부등호가 같이 있는 문제를 푸는 것도 가능하다는 것을 보여주고 싶었거든요 먼저 이 복합부등식을 두 개의 부등식으로 나눠볼게요 첫 번째 부등식이 여기 있어요 -12 는 2 - 5x 보다 작아야 합니다 다른 색으로 표시할게요 이 부등식도 성립해야 해요 2 - 5x는 7보다 작거나 같아야 하고 -12보다 커야 합니다 2 - 5x는 7보다 작거나 같습니다 아까 풀었던 방법으로 해를 구해볼게요 좌변에 -5x 만 남기기 위해서 양변에서 2를 빼주겠습니다 양변에서 2를 빼주면 좌변은 -14가 되고 우변의 2는 소거되어 -14는 -5x 보다 작다는 식이 됩니다 이제 양변을 -5로 나누어줍니다 부등식에서는 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 반대가 됩니다 양변을 -5로 나눠주면 좌변은 -14/-5가 되고 우변은 x 만 남습니다 그리고 부등호는 이제 작다에서 크다로 바뀌어요 음수 부호는 서로 소거되고 x < 14/5로 정리할 수 있습니다 14/5는 2와 4/5라고 표현할 수 있습니다 x는 2와 4/5 보다 작다 가 됩니다 가분수에서 대분수로만 바꿨어요 분홍색의 부등식도 풀어볼게요 방금 풀었던 것처럼 양변에서 2를 빼줄게요 사실 이 연산을 동시에 해줄 수 있긴 한데 혼란스러울 수 있습니다 실수를 피하기 위해 이렇게 따로 나누어 계산하는 것을 추천합니다 다시 -2를 양변에 빼준다면 좌변은 -5x 가 남고요 부등호는 작거나 같다이며 우변에는 7 빼기 2가 되어 5가 남습니다 이제 양변을 -5로 나누어주면 좌변은 x 만 남고요 우변엔 5 나누기 -5를 해서 -1 이 남습니다 음수로 나눴기 때문에 부등호의 방향을 바꿔야 합니다 이하에서 이상으로 바뀌겠지요 이렇게 두 부등식의 해를 각각 정리했습니다 x는 2와 4/5 보다 작아야 하고 -1보다 크거나 같아야 합니다 이렇게 쓸 수 있어요 x는 -1 보다 크거나 같으므로 아래쪽 경계의 시작이 됩니다 2와 4/5 보다 작습니다 여기서 주의해야 할 점은 이하가 아니란 점이에요 소괄호이기 때문에 2와 4/5와 같을 수 없죠 x는 2와 4/5 미만입니다 해를 이렇게도 나타낼 수 있습니다 x<2와 4/5로 나타내고 정리한 식에서 좌변과 우변의 위치만 바꾸었습니다 -1 ≤ x < 2와 4/5 두 표현은 같은 의미를 갖고 있습니다 수직선을 그리자면 이렇게 생겼겠죠 -1 과 2와 4/5는 여기 있고요 당연히 그 사이에 숫자들이 있겠죠 0도 이쯤에 있을 거예요 -1 보다 크거나 같아야 하니까 일단 -1과 같을 수 있겠지요 그리고 -1 보다 크면서 동시에 2와 4/5보다 작아야 합니다 2와 4/5를 포함시키면 안 됩니다 2와 4/5와 같을 수 없으니 그 수보다 작아야 하겠지요 2와 4/5에 빈 동그라미를 치고 두 경곗값 사이를 채울 수 있어요 -1 이하이기 때문에 꽉 찬 동그라미를 그려줍니다 지금까지 풀었던 두 문제들은 그리고 가 들어간 문제들이었어요 두 가지의 조건들의 공통적인 부분을 찾았죠 이젠 또는 이 들어간 문제들을 풀어볼게요 이런 부등식들이 있어요 4x - 1 은 7 보다 크거나 같다 또는 9x/2는 3보다 작다 또는이 들어간 문제란 부등식을 만족하는 x의 값은 둘 중 적어도 하나의 부등식을 만족시키는 값입니다 최근 풀어본 문제에서는 두 부등식을 동시에 만족시키는 x 값을 구했는데요 이 문제에서는 x의 조건이 훨씬 관대합니다 둘 중에 하나만 만족시키면 되니까요 먼저 두 부등식의 해를 각각 구하고 그 다음 두 해의 합집합을 찾아보겠습니다 적어도 한 개의 부등식을 만족시키는 값이 우리가 찾는 해가 되겠지요 첫 번째 부등식에서는 1을 더할 수 있겠지요 양변에 1을 더해주세요 좌변은 4x가 되고 우변은 7 더하기 1인 8이므로 8이 되겠네요 양변을 4로 나눠주면 x는 2보다 크거나 같다 가 되겠습니다 두 번째 부등식을 풀어볼게요 양변에 2/9를 곱해주면 어떻게 될까요? 양변에 2/9를 곱하면 일단 양수이니까 부등호의 방향을 바꿀 필요는 없겠죠 서로 소거되고 x는 3 곱하기 2/9를 한 값보다 작게 됩니다 3/9는 1/3 과 값이 같아서 x는 2/3 보다 작게 됩니다 그러므로 x는 2/3 미만입니다 이 값들이 복합부등식의 해입니다 x는 2 보다 크거나 같고 2/3 보다 작아요 흥미로운 답인데요 먼저 해를 수직선에 그려볼게요 이게 수직선이고요 여기가 0이면 여기가 1이고 2와 3을 나타낼게요 여기가 -1 정도겠네요 x는 2보다 크거나 같아야 하니까 여기서 시작해서 다른 색으로 표시할게요 2에서 시작해서 크거나 같으니까 2보다 크거나 같은 모든 수를 포함합니다 첫 번째 조건을 나타냈어요 또는 x는 2/3 보다 작을 수 있어요 2/3은 이 정도에 있을 거예요 2/3 은 여기에 있어요 x는 2/3보다 작지요 흥미롭지 않나요? 왜냐하면 여기 있는 수 중 하나를 고르면 이 부등식을 만족시키고 이곳에 있는 수들 중 하나를 고르면 이 부등식을 만족시킵니다 만약 그리고가 들어간 문제였다면 해가 없었을 거예요 2보다 크면서 동시에 2/3보다 작은 수는 없으니까요 그렇기 때문에 이 식의 해가 있을 수 있는 경우는 또는으로 연결될 때뿐입니다 해가 적어도 하나의 부등식을 만족시켜도 충분한 문제가 '또는' 이 들어간 문제뿐이기 때문이죠