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방정식 7x =14 가 있습니다 이 방정식을 풀기 전에 식이 뜻하는 바를 먼저 생각해 봅시다 7x = 14 7 곱하기 x 는 14와 같다는 뜻입니다 암산하여 답을 구할 수도 있을 겁니다 구구단 7단을 외워보면 되겠지요 7 곱하기 1은 7이므로 답이 아니지요 7 곱하기 2는 14이므로 x = 2가 정답입니다 이런 식으로 금방 풀 수 있을 거에요 서로 다른 수를 대입하면서 x=2가 답이라는 걸 금방 알 수 있지요 하지만 이번 시간에는 체계적으로 푸는 법을 알아 볼 겁니다 방정식이 복잡해질수록 암산만으로는 풀 수 없기 때문입니다 따라서 이번 강의에서 중요한 점은 방정식을 다루는 법을 이해하는 것입니다 더 중요한 것은 그 의미를 이해하는 거죠 이 식은 글자 그대로 7 곱하기 x는 14 라는 것을 의미합니다 대수에서는 곱하기 기호를 잘 쓰지 않습니다 두 숫자를 나란히 적거나 숫자 뒤에 변수를 함께 쓰면 두 항을 곱했다는 의미입니다 짧게 줄여쓰는 방식이지요 곱하기 기호를 쓰지 않는 이유는 x 가 가장 흔하게 쓰이는 변수라서 곱하기 기호와 혼동될 수 있기 때문이죠 만약 7 × x = 14 라는 식을 쓰면서 곱하기 기호를 쓰거나 x를 조금 이상하게 쓰면 xx 나 곱하기곱하기(××) 처럼 보이게 되지요 그래서 일반적으로 방정식을 다룰 때 특히 변수 중에 x가 있을 때에는 곱하기 기호(×)를 잘 사용하지 않습니다 곱하기 기호를 쓰는 대신 가운데 점을 쓰기도 합니다 7 · x = 14와 같이 쓸 수 있지요 그리 일반적인 경우는 아닙니다 변수에 숫자를 곱할 때에는 그냥 7x 와 같이 쓰세요 그것만으로 7 곱하기 x를 뜻합니다 이제 방정식의 해를 구하는 법을 이해하기 위해 이 과정을 써 봅시다 먼저 7 곱하기 x 이게 뭘까요? 이 식을 다른 방법으로 써 보겠습니다 먼저 7 곱하기 x를 바꾸어보지요 이건 말 그대로 x를 7번 더하라는 것입니다 그것이 곱하기의 정의이니까요 x + x + x + x + x + x+ x 7개의 x가 있습니다 이렇게 x가 일곱 개 있습니다 이 방정식의 의미는 7개의 x의 합이 14와 같다는 겁니다 그러니까 이것이 14와 같다는 겁니다 여기에 동그라미 14개를 그려 보지요 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12, 13, 14 7개의 x가 동그라미 14개와 서로 같다는 겁니다 양쪽이 서로 같은 등식입니다 이런 방식으로 방정식을 그려서 표현하면 양변을 똑같이 7로 나누었을 때 어떻게 되는지 확실히 이해할 수 있습니다 이 화살표는 지울게요 동그라미를 실수로 지웠네요 동그라미를 다시 그릴게요 일반적으로 계수는 문자에 곱해져있는 숫자를 의미합니다 어떤 숫자 곱하기 문자 즉, 계수 곱하기 변수는 다른 것과 같다는 식으로 읽을 수 있겠지요 이 경우엔 양변을 7로 나누려합니다 다시 말해 양변을 계수인 7로 나누는 거죠 양변을 7로 나누게 되면 무엇이 남나요? 7 곱하기 어떤 것을 7로 나누면 원래의 어떤 것만 남게 됩니다 우변의 7은 소거되고 좌변은 7로 나누면 2가 되겠네요 따라서 해는 2입니다 x = 2 더 확실히 이해하기 위해서 실제로 양변을 7로 나누었을 때 어떻게 되는지 그림으로 살펴보지요 이건 방정식입니다 좌변과 우변이 서로 같습니다 좌변에 어떤 계산을 하면 우변에도 똑같이 해줘야 합니다 양변이 같다고 전제했기 때문에 한쪽에만 연산하면 서로 같아지지 않습니다 양변은 원래 서로 같았으니까요 그런데 좌변을 7로 나누면 자, 이런 식으로 7개 묶음으로 나눠보죠 x가 일곱 개 있습니다 하나, 둘, 셋, 넷 다섯, 여섯, 일곱 개의 묶음이 있습니다 좌변을 일곱 개 묶음으로 나눴으므로 우변도 일곱 개 묶음으로 나타내겠습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱 좌변과 우변 전체가 서로 같기 때문에 우리가 나눠 놓은 이 작은 일곱 개 묶음도 서로 같게 됩니다 따라서 이 묶음은 이 묶음과 같아야 합니다 이 묶음은 이 묶음과 같습니다 모두 같은 묶음이지요 각각 양쪽에 일곱 묶음씩 있지요 각 x는 두 개의 동그라미와 같게 됩니다 그래서 이번 경우는 x가 동그라미 두 개와 같아서 x=2 입니다 예제를 몇 개 더 풀어봅시다 방정식을 풀 때 한 변에 연산하면 다른 쪽 변에도 똑같이 해줘야함을 확실히 이해하도록 말이죠 밑에 써 볼게요 3x = 15 라는 방정식을 살펴보겠습니다 이것도 암산으로 풀 수 있을 것입니다 이 식은 3 곱하기 어떤 숫자가 15와 같다는 거죠 구구단 3단을 외워보면 찾을 수 있지요 방정식을 체계적으로 풀고 싶다면 이 점을 알아야 합니다 좌변과 우변의 값이 서로 같다는 것입니다 좌변에 x만 남게 하려면 무엇을 해야 할까요? x만 남기려면 3으로 나누면 됩니다 이렇게 하는 이유는 3 곱하기 무엇을 3으로 나누면 3은 소거되고 x만 남기 때문입니다 3x =15 이므로 좌변을 3으로 나누었으면 우변도 3으로 나눠야 합니다 좌변에는 x 만 남고 우변은 15 나누기 3이 되어 5가 되겠군요 이 방정식을 조금 다르게 풀어보지요 결국에는 같은 방법이에요 3x = 15에서 양변을 3으로 나누는 대신에 양변에 1/3을 곱하는 겁니다 이렇게 해도 3을 소거하여 x만 남길 수 있지요 양변에 1/3 을 곱하여도 역시 방정식을 풀 수 있습니다 보다시피 3의 1/3은 1이지요 이 부분에 곱하기를 한건데요 1/3 × 3 = 1이므로 결국 1x 가 되지요 1x는 15×1/3 즉 5와 같습니다 1 곱하기 x는 x이므로 x=5입니다 사실 처음 했던 방법과 같은 방법입니다 양변을 3으로 나누는 것은 1/3을 곱하는 것과 같기 때문입니다 한 문제를 더 풀어볼건데 조금 복잡할 수 있습니다 변수를 조금 바꿔 보지요 2y + 4y = 18 이라는 식을 봅시다 어려워졌지요? 이 식은 2 × 어떤 것 + 4 × 어떤 것이 18과 같다는 것을 의미합니다 단번에 y 값이 얼마인지 생각하기 어렵지요 그래도 한 번 해볼까요 y에 1을 대입하면 2 × 1 + 4 × 1 이 18이 아닌 6이 되어 답이 아닙니다 계속 수를 대입하다 보면 답을 구하겠지만 어떻게 하면 체계적으로 풀 수 있을까요 시각화 해보도록 하지요 2y가 의미하는 것이 무엇일까요? y 두 개를 서로 더했다는 것입니다 y + y 와 같지요 거기에 4y를 더해 봅시다 더하기 4y는 y를 네 번 더했다는 것을 의미합니다 y + y+ y + y를 더하는 것이지요 이 둘을 더한 것이 18과 같아야 합니다 좌변에 y가 몇 개 있나요? 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 개의 y가 있습니다 즉 6y=18 로 식을 정리할 수 있죠 이해가 잘 되나요? 식으로 보면 2y + 4y= 6y 입니다 사과 두 개에 사과 네 개를 더하면 사과 여섯 개가 되는 것과 같습니다 즉 2y에 4y를 더하면 6y가 되는 겁니다 그리고 6y가 18과 같습니다 어떻게 푸는지 알겠지요? 6 곱하기 무엇이 18과 같다는 것이므로 양변을 6으로 나누면 답을 찾을 수 있겠지요 좌변을 6으로 나누고 우변도 6으로 나눕시다 남는 것은 y =3 입니다 맞는지 검산해 봅시다 방정식의 멋진 점 중 하나는 올바른 답을 찾았는지 항상 확인할 수 있다는 겁니다 검산해보지요 2 × 3 + 4 × 3은 2 × 3 = 6 4 × 3 = 12 이므로 6 + 12 = 18 입니다 맞는 답이군요