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이 영상에서 저는 여러분들께 이 영상에서 저는 여러분들께 다항식을 소개해 드리고자 합니다 다항식을 소개해 드리고자 합니다 굉장히 고급스러운 말처럼 보이겠지만 여러 단항식들이 서로 모여 있는 것을 의미합니다 여전히 복잡하게 들리겠지요 그래서 예시를 가져왔습니다 x^2 + 1 은 다항식의 대표적인 예시죠 좀 더 구체적으로는 이항식이지요 다항식은 더 큰 범위의 용어입니다 많은 항을 가지고 있다는 뜻이죠 '다'는 많음을 의미합니다 이 식은 이항식이지요 4x^3 - 2x^2 + 7 은 삼항식입니다 세 개의 항으로 이루어졌죠 이제 다항식인 예와 다항식이 아닌 예를 보여 드리도록 하겠습니다 x^(-1/2) + 1 은 다항식이 아닙니다 이 말이 여러분이 계산을 할 때 이 식을 볼 일이 없다는 것은 아닙니다 하지만 이 식은 다항식이라고 부르지 않습니다 왜냐하면 x의 지수가 자연수가 아니기 때문이죠 만약 y^(3/2) - y^2 가 주어졌다면 만약 y^(3/2) - y^2 가 주어졌다면 이 식은 다항식이 아닙니다 이 경우에도 역시 y의 지수가 1/2를 포함하고 있기 때문이죠 즉, 지수들은 전부 음수가 아니어야 합니다 다시 말하지만, 이들은 다항식이 아닙니다 다항식을 다룰 때에는 여러 용어들이 등장합니다 여러분이 이에 익숙하지 않기 때문에 제가 설명해 드리죠 첫번째 용어는 차수입니다 첫번째 용어는 차수입니다 이것은 다항식의 각 항에서 가장 큰 지수를 의미합니다 이것은 다항식의 각 항에서 가장 큰 지수를 의미합니다 예를 들면 이 다항식의 경우는 3차 다항식이 되겠군요 왜 그럴까요? 왜 그럴까요? 왜 이 식은 3차 다항식일까요? 왜냐하면 이 식에서 가장 큰 지수는 x에 대한 3차 항이기 때문입니다 이것이 이 식을 3차 다항식으로 부르는 이유죠 여기 있는 이 식은 2차 다항식입니다 그리고 이 항은 2차 항이고요 우리가 또 알아야 할 용어는 바로 상수와 변수입니다 여러분들이 이미 알고 있을 것 같군요 이 항들은 변수들이고 이 항은 상수입니다 이 항은 상수입니다 마지막으로 다항식을 이해하기 위해서는 각 항의 계수를 이해하는 것이 중요합니다 이해를 돕기 위해 5차 다항식을 한번 적어 보죠 조금 특이하게 적어 볼까요 조금 특이하게 적어 볼까요 무작위로 적어 볼게요 이제 식이 x^2 - 5x + 7x^5 - 5 라고 해 봅시다 이제 식이 x^2 - 5x + 7x^5 - 5 라고 해 봅시다 다시 말하지만 이 식은 5차식입니다 왜냐고요? 가장 높은 지수가 5이기 때문입니다 가장 높은 지수가 5이기 때문입니다 이것은 이 식이 5차식임을 보여줍니다 왜 이런 것들에 집중할까요? 제 생각에는 다항식의 차수는 대입되는 숫자들이 커질 때 최고차항이 다른 항들을 무시할 수 있을 정도로 빠르게 커지거나 빠르게 작아질 수 있다는 것입니다 물론 그건 앞에 달린 수에 따라 달라지겠죠 즉 최고차항이 모든 걸 지배합니다 이 개념은 여러분에게 이 식이 얼마나 빠르게 증가할지, 혹은 계수가 음수라면 얼마나 빠르게 감소할지를 알려줍니다 방금 계수라는 용어를 사용했는데요 이게 무엇을 의미할까요? 계수 이 용어는 이전에 선형 방정식을 다룰 때 쓰였습니다 계수는 변수 항 앞에서 변수 항을 몇 배로 늘려주는 역할을 합니다 예를 들어 이 항의 계수는 -5 입니다 기억해야 할 점은, -5가 있기 때문에 전체 계수는 -5라는 점입니다 이 항의 계수는 7입니다 이 항에는 계수가 없습니다 대신 이 항은 -5라는 상수이지요 x^2 항의 계수는 1입니다 계수가 1입니다 이는 생략되어 있지요 즉 이 식은 1 곱하기 x^2 와 동일하다는 것입니다 마지막으로 설명할 것은 다항식의 표준형과 관련된 것입니다 다항식의 표준형과 관련된 것입니다 앞에서 설명한 것들은 다항식을 푸는 데 아무런 도움이 되지 못하지만 앞으로 다항식에 풀이에 관련해서는 이 용어를 계속해서 듣게 될 것입니다 즉 이 용어에 대해 알 필요가 있겠죠 다항식의 표준형은 차수 순서대로 식을 쓰는 것을 의미합니다 따라서 이건 표준형이 아니죠 이 식을 표준형으로 고치려면 7x^5 항을 가장 먼저 놓아야겠죠 그 다음으로 작은 차수는 무엇인가요? 여기 제곱 항이 있네요 x의 네제곱이나 세제곱 항은 여기에 없기 때문입니다 x의 네제곱이나 세제곱 항은 여기에 없기 때문입니다 따라서 그 다음 항은 1x^2 이죠 물론 1을 적을 필요는 없습니다 그 다음은 -5x 입니다 마지막으로 -5를 적습니다 이것이 다항식의 표준형입니다 식을 내림차순으로 적는 것이죠 이제 다른 식으로 연습해 봅시다 참고로 이 방법은 수학을 공부함에 있어 유용한 기술로 사용됩니다 이제 몇 가지 연습을 해 보죠 앞의 비디오에서 몇 번 다뤄 보았지만 이 연습으로 여러분이 고차 다항식을 다룰 때 상당한 도움이 될 것입니다 이제 -2x^2 + 4x - 12와 이제 -2x^2 + 4x - 12와 7x + x^2 를 더해 봅시다 이 다항식을 단순화시킬 때 기억할 점은 같은 문자와 같은 차수의 항끼리 더해야 한다는 점입니다 이후에 다룰 예제에서는 다변수 다항식에 대해 다뤄 보도록 하죠 일단 이 괄호는 아무 역할도 하지 못합니다 만약 이게 - 기호였다면 - 기호를 분배해야겠지만 말이지요 즉 이 식은 -2x^2 + 4x - 12 + 7x + x^2 와 같습니다 즉 이 식은 -2x^2 + 4x - 12 + 7x + x^2 와 같습니다 이제 단순화해 보죠 같은 차수의 항끼리 더해 봅시다 물론 차수만 같아야 할 뿐만 아니라 변수도 같아야 하지만 이 경우에는 변수가 x 하나뿐이니까 상관없군요 더해 봅시다 x^2 항이 여기에도 있고 여기에도 있으니 더할 수 있겠군요 이제 이걸 모아 적어 보죠 -2x^2 + x^2 이제 x 항을 모아 봅시다 4x + 7x 마지막으로 상수항이 있군요 -12 -2에 1을 더하면 무엇이 될까요? (-2+1)x^2 는 -1x^2 이므로 그냥 -x^2 로 적을 수 있군요 -2에 1을 더하는 것을 보여주고 싶었어요 이제 4x + 7x 는 11x 이군요 마지막으로 상수항 -12 가 남았습니다 이제 세 개의 항으로 이루어진 이차 다항식이 완성되었습니다 이제 세 개의 항으로 이루어진 이차 다항식이 완성되었습니다 최고차계수는 즉 다항식의 표준형에서의 가장 높은 차수의 계수는 -1입니다 이 항의 계수는 11이고요 상수항은 -12 입니다 다른 예시를 한 번 볼까요 점점 어떤 느낌인지 아시겠나요? 좀 더 복잡한 예시를 봅시다 (2a^2 b - 3ab^2 + 5a^2 b^2) - (2a^2 b^2 + 4a^2 b - 5b^2) 라는 식이 있다고 해 보죠 (2a^2 b - 3ab^2 + 5a^2 b^2) - (2a^2 b^2 + 4a^2 b - 5b^2) 라는 식이 있다고 해 보죠 (2a^2 b - 3ab^2 + 5a^2 b^2) - (2a^2 b^2 + 4a^2 b - 5b^2) 라는 식이 있다고 해 보죠 이제 - 기호도 있고 변수도 여러 개입니다 단계별로 차근차근 해결해 보죠 가장 첫번쨰로 할 것은 - 기호를 분배하는 것입니다 이제 2a^2 b - 3ab^2 + 5a^2 b^2 에서 이제 2a^2 b - 3ab^2 + 5a^2 b^2 에서 뒤의 항은 - 항을 전부 분배하여 각 항에 -1을 곱해야 합니다 각 항에 -1을 곱해야 합니다 즉 -2a^2 b^2 - 4a^2 b + 5b^2 가 되겠군요 즉 -2a^2 b^2 - 4a^2 b + 5b^2 가 되겠군요 이제 같은 항들끼리 더해 봅시다 이 2a^2 b^2 항이 있고 또다른 a^2 b^2 항이 있나요? 또다른 a^2 b^2 항이 있나요? 아, a^2 b 항이군요 조심해야 합니다 ab^2 항이군요, 아니, a^2 b 항입니다 ab^2 항이군요, 아니, a^2 b 항입니다 다시, a^2 b 항이 여기 있네요 이걸 모아 적어 보죠 2a^2 b - 4a^2 b 가 있군요 이 두 항입니다 주황색으로 써 보죠 여기 ab^2 항이 있습니다 또다른 ab^2 항이 있나요? 또다른 ab^2 항이 있나요? 다른 항은 없군요 그냥 그대로 적도록 하겠습니다 이제 a^2 b^2 항이 있군요 다른 항이 있나요? 네, 여기 있네요 여기 있는 a^2 b^2 항을 같이 적도록 하겠습니다 +5a^2 b^2 - 2a^2 b^2 +5a^2 b^2 - 2a^2 b^2 두 항을 같이 적었습니다 마지막으로 b^2 항이 있군요 +5b^2 이제 더해 봅시다 첫 번째 보라색 항은 2 - 4 = -2 니까 2 - 4 = -2 니까 -2a^2 b 가 되겠군요 다음 항은 더해질 항 없이 그대로 3ab^2 가 됩니다 그 다음은 이 두 항을 더합니다 5 - 2 = 3 이니까 5 - 2 = 3 이니까 3a^2 b^2 가 되겠군요 마지막으로 +5b^2 항을 그대로 적으면 끝났습니다l 이 다항식을 정리했군요 이걸 표준형으로 고칠 때에는 좀 다르게 생각해 봅시다 한 문자의 차수가 아닌 두 문자의 차수를 합쳐 생각하는 것이지요 물론 어떻게든 해도 좋습니다 이건 여러분 취향이니까요 일단 제 방식대로는 3a^2 b^2가 먼저 오고 그 다음 a^2 b 와 ab^2 중 무엇을 먼저 둘지 결정합니다. 2a^2 b 그 다음 -3ab^2 가 오고요 마지막으로 b^2 항이 오겠군요 +5b^2 끝났습니다 이 다항식을 정리했습니다 이제 다항식을 구성하는 것과 관련된 예시를 살펴봅시다 이 예시들은 여러분에게 왜 다항식이 편리한지를 가르쳐 줄 것입니다 다항식은 방정식뿐만 아니라 미적분학을 포함한 많은 영역에서 쓰이기 때문이죠 다항식은 유용하게 쓰일 데가 많다는 겁니다 지금 하고 싶은 건 이 도형의 넓이를 다항식으로 표현하는 것입니다 최대한 비슷한 색으로 맞춰 보죠 이 도형의 면적은 얼마인가요? 일단 이 파란 영역은 xy 입니다 xy 입니다 이 영역은요? x 곱하기 z가 되겠군요 따라서 + xz 입니다 하지만 두 개가 있군요! xz 가 하나, 그리고 또다른 xz가 있습니다 이 두 개를 합쳐서 적으면 +2xz가 되겠군요 이제 이 도형의 면적을 나타내는 다항식을 찾았습니다 다음 그림을 살펴보죠 이 도형의 면적은 어떨까요? 일단 a 곱하기 b 가 있네요 ab 여기 a 곱하기 b 가 하나 더 있군요. +ab 여기 또 하나 더 있습니다. +ab 여기 또 하나 더 있습니다. +ab 약간 그림이 이상한 것 같군요 일단 이 c는 무시합시다 어쩌면 이 길이가 c라는 것을 의미하는지도 모르겠군요 왜냐하면 이 길이가 필요하니까요 어쩌면 이 길이, 이 길이가 c인 것 같네요 이게 더 도움이 되니까요 만약 이 넓이가 우리가 가정했듯이 또다른 ab라면 이게 마지막 ab가 되고 여기에 ac 조각이 하나 더 있습니다 여기에 ac 조각이 하나 더 있습니다 이게 이 도형의 넓이입니다 그리고 우리는 이 넷을 더할 수 있군요 이제 4ab + ac 가 되었습니다 물론 이 넓이는 약간의 오타로 인해 이 c가 사실은 초록 사각형의 밑변이라는 것을 가정하고 계산한 넓이지요 물론 이게 정사각형인지는 모릅니다 a와 c가 다를 수 있으니까요 다음 도형을 봅시다 이 분홍색 넓이를 어떻게 구할까요? 전체 직사각형의 넓이인 2xy에서 작은 정사각형의 넓이를 빼면 되겠군요 각각의 작은 정사각형은 x^2 이 될 것이고 두 개가 있으니까 -2x^2 겠네요 마지막으로 이걸 해 봅시다 여기 선을 그어 도형을 나눠 보죠 이 쪽의 넓이는 ab입니다 이제 이 쪽의 넓이도 ab이므로 +ab 이쪽 넓이도 역시 ab입니다 따라서 이 넓이는 3ab입니다 이제 우리는 다항식에 대해 어느 정도 알 수 있게 되었군요 알 수 있게 되었군요