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지수함수의 그래프 분석하기: 음수인 초깃값

동영상 대본

여기 f(x) 함수의 그래프가 있습니다 그리고 이 f(x)함수가 지수함수라는 것도 알려드립니다 지수함수처럼 보이지만 누군가가 그렇다고 말해주면 더 좋겠죠 이 동영상의 목적은 x값을 찾아내서 f(x)가 무엇인지를 알아보는 겁니다 그리고 어떤 x값이 함수 f(x)를 -1/25가 되게 하는지도요 눈으로만 어림짐작하고 싶겠지만, f(x)값이 -1/25라고 하면 x축 바로 밑이라서 눈으로만 확인하기에는 매우 어렵습니다 그 값이 얼마인지 알기 힘들다는 것이죠 3에서일 수도 있고, 4에서일 수도 있습니다 확실하진 않네요 눈으로 추측하고 싶지는 않습니다 그 대신, x값을 정의하는 식을 직접 찾도록 할게요 왜냐하면 여기에 정보가 조금 있으니까요 그리고 나서 x값을 찾기 위해서 그 식을 풀면 되죠 우선, f(x)가 지수함수임을 알고 있으므로 이 함수의 형태가 초기값인 a곱하기 공비 r의 x제곱임을 알 수 있습니다 초기값은 매우 명확하네요 이 값은 x가 0일 때의 값이 됩니다 또한 만약 x가 0이라면 r의 x제곱 역시 1이 됨을 확인할 수 있습니다 따라서 f(0)은 a가 되겠네요 그럼 f(0)은 무엇일까요? x가 0일 때 결국 이 값이 y축과 어디에서 만나는지를 묻는 문제가 되겠군요 f(0)은 -25임이 보이네요 따라서 a는 -25가 되겠습니다 x가 0일 때, r의 x제곱은 그냥 1이 됩니다 따라서 f(0)의 값이 -25가 되는 것이죠 여기에 바로 보이네용 이제 공비를 알아내기 위해서 몇 가지 생각할 수 있는 방법들이 있습니다 공비란 작대기에 의해 분리된 두 개의 연속된 값입니다 제가 무엇을 의미하는 걸까요? f(1)과 f(0)사이의 비율이라고 볼 수 있다는 것이죠 이것이 공비가 됩니다 또는 f(2)와 f(1) 사이의 비율이라고 보셔도 동일합니다 이것이 공비가 되네요 다행히도, 우리는 f(0)이 -25라는 사실을 알고 있습니다 또한 x가 1일 때의 값인 f(1)이 y값, 혹은 f(x), 또는 f(1)이 -5라는 것도 압니다 따라서 공비를 구해보면 -25 분의 -5가 되고, 이는 5분의 1과 같게 됩니다 음수로 음수를 나누면, 양수가 되는거죠 따라서 25분의 5, 즉 5분의 1이 되는 겁니다 이렇게 f(x)를 정의하는 식을 쓸 수 있습니다 f(x)는 -25곱하기 5분의 1의 x제곱 이렇게 말이죠 다시 문제로 돌아가봅시다 이 식의 값이 언제 -25분의 1이 될까요? 언제 -1/25가 될까요? 서로 같다고 놓아봅시다 (여담입니다) 사이렌이 울리네요, 여러분이 들으실 수 있을지는 모르겠지만요 제가 이 소리를 이겨내겠습니다 이 식이 -25분의 1일 때의 x값을 찾아보죠 곱할 수 있네요 사실 우리는 x값을 알고 싶은 것이므로 양변을 -25로 나누어 보겠습니다 그렇게 하면 5분의 1의 x제곱이라는 값이 나오고 이는 양변을 -25로 나누었을 때, 이 -25가 사라지게 됩니다 그리고 우변에는 음수를 음수로 나누면 양수가 되므로 625분의 1이 되겠네요 그리고 5분의 1의 x제곱이 되고요 그리고 이것은 5의 x제곱 분의 1의 x제곱이 됩니다 1/625와 같죠 1의 x제곱은 그냥 1이 됩니다 x제곱이 있다고 해서 달라지지는 않죠 검정색으로 지워보겠습니다 자, 여기 검정색으로 지웠습니다 이제 우리는 5의 x제곱이 625와 같아야 함을 알 수 있습니다 여기에 한번 적어보죠 색깔을 안바꿨네요 5의 x제곱은 625가 되어야 하죠 이를 계산하는 최고의 방법은 5의 제곱수를 생각해보는 것입니다 우선, 5의 1제곱은 5, 5의 2제곱은 25, 5의 3제곱은 125가 됩니다 5의 4제곱은 여기에 5를 곱하면 되므로 625가 나오네요 따라서 x값은 4가 됩니다 왜냐하면 5의 4제곱이 625이기 때문이죠 우리는 이제 f(4)가 -25분의 1임을 알 수 있습니다 -25분의 1임을 알 수 있습니다 다시 한번 말하지만, 여러분들은 이를 증명할 수 있습니다 여기에서 증명할 수 있겠네요 5분의 1의 4제곱이 625분의 1이 되니까요. 625분의 -25는 -25분의 1이 됩니다 조금 명확해지셨으면 좋겠네요