지수함수의 초깃값 & 공비

함수 h(n)은 1/4 곱하기 2의 n제곱이라고 합시다 이 함수는 특이하게도 지수에 변수가 있습니다 이런 함수를 지수함수라고 합니다 지수함수(exponential function) 변수, 즉 대입값에 따라 함숫값이 정의되는데 이 변수가 지수에 있기 때문에 지수함수라고 합니다 다른 지수함수를 또 써 볼게요 대입값이 변수 t일 때 f(t)는 5 곱하기 3의 t제곱 이 함수 역시 지수함수입니다 여기서 지수함수에 관련된 용어 몇 가지를 알아봅시다 첫 번째 용어는 초깃값입니다 초깃값(initial value) 초깃값은 대입값이 0일 때의 함숫값입니다 그러므로 함수 h(n)의 초깃값은 h(0)이 되겠죠 h(0)은 1/4 곱하기 2의 0제곱이므로 계산하면 2의 0제곱은 1이므로 h(0) = 1/4입니다 이 경우에서는 초깃값이 여기 나와 있는 수입니다 이 함수는 초깃값과 지수가 n인 어떤 수의 곱으로 나타나네요 이번엔 f(t)의 초깃값을 구해 봅시다 초깃값 f(0)은 5 곱하기 3의 0제곱입니다 마찬가지로 3의 0제곱은 그냥 1이므로 5 × 1 = 5입니다 f(t)의 초깃값도 여기 있는 수가 되네요 이런 형태의 지수함수의 초깃값을 구하려면 변수에 0을 대입해야 합니다 그러면 제곱된 수는 1이 되며 결국엔 이 수만 남겠죠 이해가 되셨나요? 이제 이 수의 이름에 대해 알아봅시다 2와 3은 뭐라고 부를까요? 이 수들은 공비라고 합니다 공비(common ratio) 왜 이 수를 공비라고 부를까요? 연속하는 정수를 대입해보면 규칙을 확인할 수 있어요 예를 들어 봅시다 h(0) = 1/4였죠 그렇다면 h(1)은 무엇일까요? 1/4 곱하기 2의 1제곱이겠죠 그러므로 h(1) = 1/4 · 2입니다 h(2)는 무엇일까요? 1/4 곱하기 2의 제곱이므로 1/ 4 · 2 · 2입니다 이는 2 · h(1)이라고 쓸 수도 있습니다 h(1)도 다시 써주면 2 · h(0)이 되겠죠 h(2)와 h(1) 사이의 비율은 2가 될 것입니다 h(1)과 h(0) 사이의 비율도 2가 되겠죠 이것이 연속하는 대입값 사이의 공비입니다 그러므로 h(n + 1)/h(n)은 1/4 곱하기 2의 n제곱분의 1/4 곱하기 2의 (n + 1)제곱으로 나타낼 수 있습니다 1/4은 약분되고 2의 (n + 1)제곱을 2의 n제곱으로 나누면 2가 됩니다 따라서 이것이 함수 h(n)의 공비입니다 그렇다면 함수 f(t)의 공비는 3이 되겠네요 다른 방법으로도 구할 수 있습니다 예를 들어 함수 g가 있다고 합시다 함수 g의 초깃값은 5입니다 그리고 공비는 6입니다 이 함수가 지수함수라면 식은 무엇이 될까요? 변수를 x라고 합니다 g(x)의 식은 먼저 초깃값 5를 써줍니다 이것은 음수 부호가 아니에요 헷갈리지 않도록 =으로 바꿔 쓸게요 이 초깃값에 공비의 x제곱을 곱해주면 됩니다 이 함수의 초깃값은 5이고 공비는 여기 있는 6이 됩니다 지금까지 지수함수와 지수함수의 용어들에 대해 알아보았습니다