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지수함수의 증가 & 감소 문제 해결하기

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우선 단여 몇개를 짚고 넘어갑시다 지수함수적 증가와 감소 첫 번째로 방사성 물질이 시간당 3.5%씩 붕괴된다고 합시다 그렇다면 6시간 후에는 전체 물질의 몇 퍼센트가 남게 될까요? 여기에 표를 그려봅시다 그리고 어떤 일이 벌어지는지 한번 상상해 봅시다 그리고 나서는 일반적으로 n 시간 후에 얼마가 남아있는지에 대해 수식으로 표현할겁니다 이쪽은 걸린 시간, 그리고 이쪽은 남은 물질의 비율이라고 합시다 0시간이 지난 후에는 얼마가 남을까요? 아직 감소가 시작되지 않았으니, 아직 100%가 남아있습니다 1시간 후에는 어떻게 되나요? 시간당 3.5%씩 감소하니까 3.5%가 사라졌습니다 또는 0.965가 남았다고 생각할 수도 있어요. 기억하세요, 우리가 매 시간마다 잃고 있는 1 빼기 3.5% 또는 100%빼기 3.5%는 96.5%와 같습니다 그래서, 우리는 매 시간마다 그 전 시간의 96.5%를 가지게 될 겁니다 그래서 1시간일 때에는 0시간의 96.5%, 또는 0.965 곱하기 100, 즉 곱하기 시간 0인 것이죠 이제, 2시간이 지나면 어떻게 될까요? 그 전 시간의 96.5%만 남게 됩니다 3.5%를 잃게 되므로, 그 전 시간의 96.5%만이 남게 되는 것이죠 따라서 0.965 곱하기 시간 1, 즉 0.965 곱하기 0.965 곱하기 100입니다 일반적으로 어떻게 진행되고 있는지 이해가 되나요? 시간 1에서는, 0.965의 1제곱 곱하기 100이었죠 시간 0에서는 0.965의 0제곱 곱하기 100이었죠 보이지는 않지만, 여기에 1이 곱해져 있습니다 시간 2에서는, 0.965의 2제곱 곱하기 100입니다 그래서, 일반적으로 시간 n 에서는- 시간 n에서는 0.965의 n 제곱, 곱하기 100이 방사성 물질로 남아있습니다 이것은 다음과 같이 초깃값 곱하기 공비의 n제곱, 0.965의 n제곱 으로 자주 표현됩니다 이것이 n시간 후에 남아있는 양입니다 이제, 우리는 질문에 답할 수 있을겁니다 6시간 후에, 방사성 물질은 얼마나 남아있을까요? 우리는 100곱하기 0.965의 6제곱 만큼이 남았다는 것을 잘 압니다 이제 계산기를 사용해서 그게 얼마인지 구하면 됩니다 우리의 믿음직한 계산기를 사용해볼까요 그래서 100곱하기 0.965의 6제곱은 80.75와 같습니다 퍼센트로 나타내진 값이므로 초기 물질의 80.75%가 남아 있는 것이죠 다른 문제를 풀어 봅시다. Nadia는 패스트푸드 가게의 체인점을 운영하고 있습니다 1999년에는 200개를 가지고 있었습니다 만약, 증가율이 1년에--여기 오타가 있군요 여기에 8이 있어야 하는데-- 8%가 된다면 2007년에는 얼마나 많은 가게를 가지고 있을까요? 아까와 똑같이 생각해 봅시다. 1999년부터 흐른 시간과 Nadia가 운영하는 페스트 푸드 가게의 수를 가지고 표를 그려봅시다. 그래서, 1999년도는 1999년으로부터 0년 후입니다 그리고 그년는 200개의 가게를 운영하고 있죠 그러면 1년이 지난 2000년에는, 얼마나 많은 가게를 운영하게 될까요? 그녀의 가게는 매년 8%씩 성장합니다 따라서 그녀는 기존에 운영하고 있던 가게들에 더해서 그녀가 가진 가게의 8%를 더 가지게 될겁니다 따라서, 1.08 곱하기 그녀가 가졌던 가게의 수가 되겠죠 앞으로 보이겠지만, 여기서 공비는 1.08입니다 8%로 증가한다는 것은 1.08씩 곱한다는 것과 같은 말입니다 다시 설명해볼게요 200 더하기 0.08 곱하기 200은 결국 1곱하기 200 더하기 0.08 곱하기 200입니다 따라서 1.08곱하기 200이죠 그렇다면 2001년에는 어떻게 될까요? 이제 2년이 지났으므로 이 숫자에서 8%가 증가할겁니다 이 숫자에 1.08을 곱하므로 1.08곱하기 1.08곱하기 200이 됩니다 이정도면 일반적인 요지를 알겁니다 만약, 1999년으로부터 n년이 지나면 가게의 수는 1.08의 -- 이렇게 적어봅시다 200곱하기 1.08의 n제곱이 될겁니다 2년 후에는, 1.08의 제곱이 됩니다 1년일 때는, 1.08의 1제곱입니다 0년 후에는, 1곱하기 200이므로 1.08의 0제곱을 곱한 것과 같습니다 이제 2007년에는 얼마나 많은 가게가 운영되고 있을까요? 2007년은, 1999년으로부터 8년이 지난 때입니다 따라서 여기에서는 n이 8이 됩니다 n이 8일 때 계산을 해봅시다 문제에 대한 답은 200곱하기 1.08의 8제곱이 됩니다 계산기를 이용해서 값을 구해 볼까요? 200 곱하기 1.08의 8제곱이 얼마인지 확인해 봅시다 그녀는 370개의 가게를 운영하고 몇 개를 더 세우는 과정에 있을겁니다 그래서 이것을 반올림하면, 그녀는 370개의 가게를 운영하는 것입니다 그래서, 8%의 증가가 그렇게 빠르고 신나보이지는 않겠지만 10년이 채 지나지도 않았을때, 그녀의 가게는 200개에서 370개로 증가했습니다 그래서 8년 후에는, 꾸준한 8%의 성장이 큰 규모라는 걸 알 수 있습니다