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0으로 나누기는 왜 성립하지 않을까요?

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코미디언인 스티븐 라이트가 이런 말을 한 적이 있습니다 "블랙홀은 신이 0으로 나눈 곳이다" 물리적으로 그렇다는 것은 아니고 사실 단순한 비유에 불과합니다 하지만 굉장히 적절한 비유이기도 합니다 왜냐하면 블랙홀은 물리적 지식이 제대로 적용되지 않는 곳인데 0으로 나누는 것도 수학적 지식이 적용되지 않기 때문이죠 0으로 나누는 것은 정의되지 않았습니다 수학에서 정의되지 않았다는 표현은 조금 이상해 보이지만 말 그대로 정의가 되지 않는다는 뜻입니다 수학자들은 0으로 나누는 것의 의미와 그 값을 한번도 정의한 적이 없습니다 그 이유는 명확한 정의를 얻을 수 없었기 때문입니다 명확한 답도 정의도 없다는 겁니다 그래서 0이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다 7/0이나 8/0이나 -1/0이나 그 값은 정의되지 않아요 그렇다면 왜 0이 아닌 수를 0으로 나눈 값을 아예 정의조차 하지 않을까요? 정의하면 어떻게 되는지 한번 살펴봅시다 가장 간단한 경우인 1을 예로 들어 볼게요 물론 다른 수를 사용해도 좋아요 아직 1/0이 어떤 수를 의미하는지 모르기 때문에 0 대신 아주 작은 양수를 이용해 봅시다 나누는 수가 0에 가까워지면 어떻게 되는지 봅시다 0.1로 나눠 볼까요? 1/0.1 = 10이네요 만약 0.01로 나누면 1/0.01 = 100이 되겠죠 0에 정말 가까운 수인 0.000001로 나누면 1을 백만 분의 1로 나눈 것이므로 그 값은 백만이 됩니다 여기서 규칙이 보이죠? 1을 더 작은 양수로 나눌수록 계산한 값은 점점 더 커집니다 이 규칙을 통해 1/0의 값이 양의 무한대일 것이라고 추측할 수 있습니다 나누는 수가 점점 더 작아질수록 계산한 결과가 점점 더 커지기 때문이죠 그렇다면 나누는 수가 0에 가까운 양수일 때는 1/0의 값이 양의 무한대가 되지만 나누는 수가 0에 가까운 음수일 경우에는 어떻게 될까요? 확인해 봅시다 1/(-0.1) = -10이고 1/(-0.01) = -100입니다 마찬가지로 1을 -0.000001로 나누면 -1000000이 됩니다 따라서 1을 0에 가까운 음수로 나눠주면 그 결과가 음의 무한대에 가까워집니다 양수로 나눠줬을 때는 값이 양의 무한대였지만 음수로 나눠줬을 때는 값이 음의 무한대가 됩니다 음의 무한대와 양의 무한대는 정반대의 값이에요 바로 이것이 수학자들이 결론을 내리지 못한 이유입니다 0으로 나눈 결괏값이 하나가 아니기 때문이죠 0으로 나눈 값이 단순히 42와 같은 어떤 값이라고 정의해도 양의 무한대인 동시에 음의 무한대일 수는 없으므로 문제가 생깁니다 그렇기 때문에 0으로 나누는 것은 정의하지 않습니다