연산 순서란?

이번 강의에서는 연산 순서에 대해 알아봅시다 수학의 모든 것은 대부분 연산 순서에 기초를 두기 때문에 집중하셔야 합니다 연산 순서라는 것은 무슨 의미일까요? 예제를 통해서 살펴봅시다 식을 해석하는 방법은 오직 하나입니다 7 + 3 × 5와 같은 식이 있다고 합시다 연산의 순서를 따르지 않으면 이 식은 두 가지로 해석할 수 있어요 첫 번째 해석은 왼쪽부터 오른쪽으로 차례대로 계산하는 것입니다 먼저 7 + 3을 계산한 뒤 5를 곱할 거예요 7 + 3 = 10이고 여기에 5를 곱하면 10 × 5 = 50이 되죠 이 방법은 연산 순서를 따르지 않고 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 계산하는 방법입니다 또는 덧셈을 하기 전에 곱셈을 먼저 할 수도 있습니다 이 방법으로 식을 해석하면 다음과 같아요 3 × 5를 먼저 계산한 뒤 7을 더해줘야 합니다 3 × 5 = 15이고 15에 7을 더하면 22가 됩니다 7 + 3 × 5를 먼저 더한 뒤 곱셈을 해주는 방법과 곱셈을 먼저 한 뒤 덧셈을 해주는 방법 두 가지로 해석해봤더니 답이 두 가지로 나왔습니다 만약 이 수식을 이용해 인공위성을 달로 쏘아올리려고 했을 때 두 대의 컴퓨터로 서로 다른 식을 계산했다면 두 식의 결과가 다르기 때문에 인공위성의 궤도가 바뀌었을 수도 있어요 이런 일을 방지하기 위해 연산 순서를 꼭 따라야 합니다 식을 해석하는 순서에 대해 합의를 한 거예요 합의된 연산 순서는 괄호를 먼저 계산하고 다음은 지수를 계산해 줍니다 지수가 무엇인지 몰라도 지금은 걱정 안해도 됩니다 이번 강의에서는 지수가 있는 예제는 다루지 않을 거예요 그 다음 곱셈과 나눗셈을 해 줍니다 곱셈과 나눗셈은 우선순위가 같아요 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 해 줍니다 여기 쓴 것이 합의된 연산 순서입니다 이 연산 순서를 따르면 주어진 수식에 대한 항상 답이 일정합니다 7 + 3 × 5를 올바르게 해석해 봅시다 이 식에는 괄호가 없죠? 괄호는 이렇게 생긴 것입니다 나중에 괄호가 있는 예제도 살펴볼게요 이 식에는 지수도 없습니다 하지만 곱셈은 있죠 연산 순서에서는 곱셈과 나눗셈이 우선순위예요 그러므로 이 식에서도 곱셈인 3 × 5를 먼저 계산해줘야 합니다 곱셈은 덧셈이나 뺄셈보다 먼저 계산해야 해요 3 × 5 = 15이고 여기에 7을 더해줘야 합니다 덧셈과 뺄셈은 연산의 마지막 순서예요 곱셈을 먼저 계산하면 15이고 여기에 7을 더하면 22가 됩니다 따라서 정답은 연산 순서에 알맞게 계산한 22가 됩니다 다른 문제를 풀어 봅시다 연산 순서를 확실하게 알 수 있을 거에요 7 + 3 이번엔 괄호를 넣어 볼게요 (7 + 3) × 4 ÷ 2 - 5 × 6을 계산해 봅시다 연산이 굉장히 복잡해 보이지만 연산 순서를 따라 계산하면 식이 간단해져서 정답을 구할 수 있습니다 연산 순서를 따라 계산해 봅시다 먼저 괄호가 있나 찾아봐야 합니다 7 + 3에 괄호가 있죠? 그러므로 7 + 3을 먼저 계산해줘야 합니다 7 + 3 = 10이 되겠죠 따라서 이 식을 간단히 하면 다음과 같습니다 10 × 4 ÷ 2 - 5 × 6 식을 복사해서 붙여 넣어 볼게요 식에서 괄호를 먼저 계산하여 간단히 했습니다 이제 식에 괄호가 없습니다 그 다음 순서는 지수를 계산해줘야 하는데 이 식에는 지수가 없죠 지수는 7²에서 오른쪽 위에 있는 작은 수를 말해요 이 식에는 지수가 없으니 다음 순서로 넘어가 볼까요? 다음 순서는 곱셈과 나눗셈입니다 식을 보면 곱셈과 나눗셈이 있고 옆에 곱셈이 또 있네요 우선순위가 같은 연산이 여러 개 있죠 곱셈과 나눗셈의 우선순위는 같으므로 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 계산해주면 됩니다 이 식에서는 10 × 4를 먼저 계산한 뒤 2로 나눠줘야 해요 2로 먼저 나눈 다음에 4를 곱하지는 않을 거예요 그리고 5 × 6을 계산해준 뒤 뺼셈을 해줘야 합니다 계산해 봅시다 10 × 4를 먼저 계산해 봅시다 5 × 6도 동시에 계산할 수 있지만 단계별로 차례차례 계산해 봅시다 10 × 4를 계산해 봅시다 10 × 4 = 40이죠 이제 40 ÷ 2를 계산해야겠죠? 식을 복사해서 붙여 볼게요 40 ÷ 2 - 5 × 6 곱셈과 나눗셈은 순위가 같다는 것을 기억하세요 그러므로 왼쪽에서 오른쪽 순서대로 계산해야 합니다 나누기 2를 곱하기 1/2로 표현하면 계산 순서는 상관 없겠지만 곱셈과 나눗셈이 같이 있으면 왼쪽에서 오른쪽으로 계산해요 식을 간단히 하면 40 ÷ 2 - 5 × 6이 됩니다 여기 나눗셈이 있고 여기 곱셈이 있는데 곱셈과 나눗셈이 같이 있지 않기 때문에 동시에 계산할 수도 있어요 하지만 반드시 뺄셈을 하기 전에 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산해야 합니다 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선순위가 높기 때문이죠 만약 40 ÷ 2와 5 × 6에 괄호를 써줄 수도 있어요 곱셈과 나눗셈이 뺄셈보다 우선순위가 높으므로 40 ÷ 2와 5 × 6을 뺄셈보다 먼저 계산해줘야 합니다 40 ÷ 2 = 20이고 5 × 6 = 30입니다 20 - 30 = -10이죠 이것이 정답입니다 이를 정리해 볼까요? 연산의 우선순위가 같은 것끼리 있을 때를 예로 들어 볼게요 1 + 2 - 3 + 4 - 1 덧셈과 뺄셈은 연산 순서가 같으므로 왼쪽에서 오른쪽 순서로 계산해야 합니다 왼쪽부터 계산해 보면 1 + 2 = 3이므로 식은 3 - 3 + 4 - 1이 되겠네요 3 - 3 = 0이므로 식은 0 + 4 - 1이 되겠죠 이는 4 - 1과 같으며 계산하면 3이 됩니다 곱셈과 나눗셈도 마찬가지입니다 곱셈과 나눗셈의 연산 순서는 같죠 예를 들어 4 × 2 ÷ 3 × 2를 계산해 봅시다 4 × 2 = 8이므로 식은 8 ÷ 3 × 2가 됩니다 8 ÷ 3은 분수가 되어 8/3이 되므로 8/3 × 2가 되죠 8/3 × 2 = 16/3이 됩니다 이렇게 연산 순서대로 식을 계산해 보았습니다 순서를 마음대로 계산할 수 있을 때는 모두 덧셈이거나 모두 곱셈일 때뿐입니다 만약 1 + 5 + 7 + 3 + 2를 계산한다면 어떤 순서로 하든 상관 없어요 오른쪽에서 왼쪽으로 계산할 수도 있고 반대로 계산할 수도 있으며 중간부터 계산할 수도 있어요 하지만 덧셈만 있을 때만 해당해요 모두 곱셈만 있는 경우에도 마찬가지입니다 1 × 5 × 7 × 3 × 2를 계산할 때도 순서는 상관 없어요 모두 덧셈이거나 모두 곱셈인 경우에만 해당합니다 나눗셈이나 뺄셈이 여기에 섞여 있으면 왼쪽에서 오른쪽으로 순서로 계산하는 것이 가장 좋아요