연립방정식 해의 개수: 과일 가격 (1/2)

왕의 고문인 알베글라가 당신과 왕과 새 사이의 토론을 보고 질투심을 느낍니다 자기가 왕의 최측근으로 왕국에서 제일 현명한 자여야 하기 때문이죠 그는 과일 가격의 수수께끼를 풀어보라고 이야기합니다 왕은 우리는 아직 풀지 못한 수수께끼니 이를 허락합니다 "알베글라, 과일조각의 수수께끼를 저들에게 설명하게나." 알베글라가 말합니다. "우리는 과일의 가격을 계산하고 기록하려고 했으나 그 기록을 잃어버렸소." "하지만 우리는 우리가 과일에 총 얼마를 소비했는지는 알고 있소." "또 우리가 각 과일을 얼마만큼 샀는지 알고 있소." "일주일 전 우리는 과일 시장에서 사과 2파운드와" "바나나 1파운드를 샀소." "우리가 소비한 가격은 총 3 달러였소." "그 전에는 바나나 6파운드 -- 아니 사과 6파운드였군. 사과 6파운드와 바나나 3파운드를 샀소." "그리고 그떄 우리가 소비했던 가격은 총 15달러였소. 자, 그렇다면 사과와 바나나의 가격은 각각 얼마일까?" 그러자 당신은 새를 쳐다봅니다 새도 당신을 쳐다보고, 왕의 귀에 속삭입니다 왕은 "새가 이 문제의 변수를 정의하라고 하네. 대수적으로 한번 바꿔보지." 그래서 당신은 그렇게 합니다. 여기서 사과와 바나나의 가격을 알고 싶죠 그러면 변수를 설정합시다 a를 사과 1파운드의 가격으로 놓고, b를 바나나 1파운드의 가격으로 놓죠 그렇다면 이 문제를 어떻게 해석할 수 있을까요? 사과 2파운드와 바나나 1파운드는 3달러입니다 그러면 사과는 얼마일까요? 사과 2파운드의 가격은 2a로 나타낼수 있겠네요 바나나는 어떨까요? 바나나 1파운드의 가격은 b로 나타낼 수 있습니다 그렇다면 바나나와 사과의 총 가격은 2a+b로 나타내고, 실제 값은 3달러이겠네요 두 번째 경우도 대수적으로 바꿔보죠 총 가격은 사과는 6파운드 곱하기 a달러, 바나나는 3파운드 곱하기 b달러 그렇다면 바나나와 사과의 총 가격은 15겠네요. 우리가 어떻게 이 문제를 풀어야 될지 생각해봅시다 대입을 해도 되고, 소거를 해도 되고, 우리고 하고 싶은 대로 해도 되요. 그래프로 나타낼 수도 있겠네요. 먼저 소거를 해 보죠 이 변수 a를 소거해 보고 싶어요 여기는 계수가 2 여기는 계수가 6이니까 오른쪽에 있는 식에 -3을 곱하면 2a는 -6a가 될 것이고, 이걸로 저걸 소거할 수 있겠네요 한번 해 보죠 이 식에 -3을 곱하고 그럼 이건 -3*2a 즉 -6a 이건 -3*b 즉 -3b 그리고 -3*3은 -9 이제 이 두 식을 더할 수 있겠네요 이 식의 좌변을 저 식의 좌변에 더하고 이 식의 우변을 저 식의 우변에 더하면 서로 똑같은 것을 양변에 더하는 셈이 되죠 우리는 이 둘이 서로 값이 똑같다는 걸 알기 때문에 이렇게 해도 되니 해 보도록 하죠 좌변에서는 6a와 -6a가 서로를 소거하네요 여기서는 3b와 -3b가 서로 소거되네요 결국은 좌변에 0밖에 안 남아요 그러면 우변에는 뭐가 있죠? 15-9=6 그러면 조금 이상한 결론이 나와요 0=6이라는 말도 안되는 식에 도달한다는 거죠 우리 모두 이 식이 이상하다는 것을 알고 있죠 도대체 무슨 일이 일어난 걸까요? 당신은 어리둥절해하며 새를 쳐다봅니다 새가 이 방에 있는 사람 중 제일 똑똑해보이거든요. 정확히 말하면 이 방에 있는 척추동물 중에요 당신이 쳐다보자 새는 또 다시 왕의 귀에 속삭입니다 그러니까 왕이 "새가 답이 없다고 하오. 그래프를 그려서 왜 그러는지 확인해보라고 하더군."이라고 합니다 그러자 당신은 "새가 무언가를 아는 것 같네요. 한번 이 두 식을 그래프로 표현하고 도대체 무슨 일인지 알아보겠습니다." 라고 합니다 당신은 두 식을 그래프로 표현합니다 y-절편 형태나 기울기 형태로 만듭니다 만약에 b에 관한 첫번째 식을 해결하고 싶으면 양변에서 2a를 빼 주면 되요 2a를 빼면 b=-2a+3이 나와요 두번쨰 식을 풀어보죠 여기서는 양변에서 6a를 뺍니다 여기에 해 볼게요 3b=-6a+15를 얻겠네요 그리고 양변을 3으로 나누면 b=-2a+5를 얻습니다 그러니까 두번쨰 식은 b=-2a+5입니다 아직 그래프도 못 그렸네요 하지만 되게 신기한 일이 벌어지고 있습니다 서로 정확히 똑같은 기울기를 가지고 있네요 우리가 b에 대해 풀면 두 식이 서로 다른 해를 가지고 있는 것 같은데 실제 그래프를 그려서 무슨 일인지 봅시다 여기에 b축과 a축을 그려보죠 첫 식은 3이라는 b절편을 가지고 있네요 자, 1,2,3,4,5 첫 식은 b절편이 3 그리고 기울기가 -2네요 다음 식을 보죠 이 식은 2칸 내려가야 되요 이렇게 생기겠네요 최대한 곧게 그리고 있습니다 약간 이런게 생기는거죠 그냥 이 녹색 식을 그려 보죠 여기서 b절편은 5 기울기는 똑같이 -2네요 이런 모습을 하게 되는거죠 당신은 새가 옳았다는 걸 알게 됩니다 이 두 직선은 서로 교차하지 않기 때문에 답이 나오지 않는거죠 두 직선은 서로 만나지 않습니다 새가 옳았어요 이 문제에서는 어떠한 답도 나올 수 없죠 당신은 그제서야 깨닫습니다 알베글라가 당신을 골탕먹이려 했다는 걸요 그래서 당신은 알베글라에게 "알베글라, 넌 나에게 잘못된 정보를 줬어! 이건 불능이야! (불능 = 해를 구할 수 없는 경우) 그니깐 너는 나한테 잘못된 정보를 준거야! 사과나 바나나의 가격을 구할 수 없잖아! 네가 나에게 거짓말을 했거나 과일의 수량과 가격을 잘못 측정한거야!" "아니면 사과와 바나나의 가격이 과일 시장을 갔던 두 번 사이에 두 과일의 가격이 바뀌었거나." 그러자 새는 왕의 귀에 속삭입니다 "오, 저 자는 꽤 똑똑한 자로군요!"