연립방정식: 통행료 (2/2)

저번에 우리는 최선을 다해 성에 가서 구출해야 하는 누군가를 구출하려 했습니다 하지만 우리는 다리를 건너야 했고 우리는 돈이 없었기 때문에 트롤은 이 힌트들을 주었습니다. 그리고 만약 그의 수수께끼를 풀지 못한다면 그는 우리를 물에 던져 버릴 것입니다 우리는 이 문제를 반드시 풀어야 합니다 적어도 지난 영상에서 약간의 진전이 있었습니다 우리는 방정식을 이용하여 그의 단서들을 수학적으로 표현할 수 있었습니다 제가 이 영상에서 하고 싶은 것은 방정식들을 풀 수 있는지 생각해 보는 것입니다 그리고 여러분들은 연립방정식을 푸는 방법은 굉장히 많다는 것을 알게 될 것입니다 이번에는 시각적으로 해보도록 하지요 적어도 제 생각엔 이 방법이 직관적으로 이 방정식들이 무엇을 의미하는지 알게 해줍니다 자, 여기에 좌표평면을 그려 봅시다 먼저 f축을 그리고 이게 제가 가진 오 원짜리 동전의 개수입니다 그리고 t축을 그립니다 이건 제가 가진 십 원짜리 동전의 개수입니다 여기가 십 원짜리 동전 500개고 여기는 1000개입니다 그리고 여기는...아 죄송합니다 오 원짜리 동전이 500개군요 여기는 1000개고요 여기가 십 원짜리 동전 500개, 여기는 1000개입니다 자 이제 f와 t의 모든 조합 중에서 첫 번째 방정식을 만족하는 조합을 생각해 봅시다 만약 십 원짜리 동전이 전혀 없다면 우리는 오 원짜리 동전 900개를 가지게 될 것입니다 십 원짜리 동전이 없다면, 오 원짜리 900개를 가지게 됩니다 점을 여기쯤 찍으면 될 것 같습니다 이게 그 점입니다 십 원짜리 0개, 오 원짜리 900개 하지만 다르게 본다면 오 원짜리가 없다면 십 원짜리가 900개가 될 것입니다 이 점이 되겠네요 10원짜리 900개, 5원짜리 0개 그러면 이 방정식을 만족하는 모든 f와 t는 이런 직선 위에 있게 될 것입니다 제가 점선으로 그린 건 그냥 좀 더 똑바로 그리기 위해서입니다 그러면 이 직선은 첫 번째 방정식을 만족하는 모든 f와 t의 조합이 됩니다 명백히, 이러한 조합은 무수히 많습니다 그래서 우리는 이 중에서 트롤이 말한 조합이 어떤 조합인지 알 수 없습니다 하지만, 다행히 우리에겐 두 번째 조건이 있습니다 바로 여기 말이에요 아까랑 똑같이 해봅시다 이 경우에 10원짜리가 하나도 없으면 어떻게 될까요? 10원짜리가 0이면 5f가 5500이니까 잠깐, 이건 약간 더 복잡하니까 여기 표를 그리겠습니다 두 번째 방정식의 경우 십 원짜리가 없으면 5f가 5500이 되니까 f는 1100이 됩니다 5원짜리 1100개를 가지게 됩니다 만약 오 원짜리가 없다면, 이 항이 0이 되고 10t가 5500이 됩니다 10원짜리 동전이 550개 있다는 뜻입니다 그러면 이제 이제 그려 봅시다 t가 0이면 f는 1100이니까 이 점입니다 점 (0,1100)이 이 방정식을 나타내는 직선 위의 점일 것입니다 그리고 f가 0이면 t는 550이니까 여기가 600,700,800,900쯤 되니 550은 여기입니다 그래서 여기가 점 (550,0)입니다 이 직선 위의 모든 점들, 다시 한 번 직선을 그려 봅시다 이것보다는 잘 그릴 수 있는데요 이것보다는 잘 그릴 수 있을 것 같습니다 그래서 이 모든 점들이 한 번만 더 다시 그리겠습니다 이 문제를 맞추어야지요 트롤한테 밀려 물에 빠질지는건 원하지 않습니다 자 됐습니다 훨씬 낫군요 이 파란색 선 위의 모든 점은 두 번째 조건을 만족하는 모든 f와 t의 조합을 나타냅니다 그러면 두 조건을 만족시키는 f와 t 그러니까 5원짜리와 10원짜리의 개수는 뭘까요? 아마 두 직선이 모두 지나는 점이 될 것입니다 두개의 직선위에 동시에 존재하는 점은 무엇일까요 두 직선의 교차하는 지점입니다 이 점은 분명히 파란 직선 위에도 있고 노란 직선 위에도 있습니다 만약 이 그래프를 정말, 정말 정확하게 그린다면 우리는 몇 개의 오 원짜리와 몇 개의 십 원짜리가 있는지 알 수 있습니다 이 그래프를 아주 자세히 보면 그래프를 정확하게 그리는 것을 권장합니다 몇 개의 오 원짜리와 몇 개의 십 원짜리가 있는지 알 수 있습니다 자, 이 점을 자세히 보겠습니다 이 점을 보면 오 원짜리가 700개쯤, 십 원짜리가 200개쯤 있는 것 같습니다 이 결과는 개략적인 그래프로부터 나온 것이지만 맞는지 한 번 봅시다 700 더하기 200은 900이고 그리고 5원짜리가 700개면, 한 번 써 보겠습니다 5원짜리들의 값은 5 곱하기 700이니까 3500원입니다 그리고 여기에 10 곱하기 200을 더하면, 2000원이니까 10원짜리들의 값입니다 그리고 이 두 값을 더하면 딱 5500원이 됩니다 그러면 이 결과가 맞다는 것을 확인할 수 있습니다 자 이제 트롤에게 말할 수 있습니다 이제 알겠어! 네가 5원짜리와 10원짜리 몇 개를 가지고 있는지 알겠어! 너는 5원짜리 700개랑 10원짜리 200개를 가지고 있어 트롤은 감명을 받았고, 여러분은 다리를 건너서 이 판타지 이야기의 영웅이 되었답니다