가감법을 이용하여 연립방정식 풀기

지금부터 가감법을 이용하여 몇 가지 등식을 풀어볼 것입니다 하지만 이번에는 가감법이 한 단계가 아닙니다 가감법을 이용하기 위해서 등식들을 바꿔야 합니다 등식 5x - 10y = 15와 등식 3x - 2y = 3이 있다고 합시다 가감법을 이용해서 이 등식을 풀어 볼게요 대입법을 이용하거나 그래프를 그려서 교점을 찾아내는 방법도 있지만 이번에는 가감법을 이용해 보겠습니다 가감법에서 가장 먼저 떠오르는 생각은 등식의 좌변끼리 빼거나 더한 다음 우변을 빼거나 더하면 된다는 것입니다 결국에는 같은 값을 양변에 더하는 것이므로 이 방법도 쓸 수 있지만 이 등식에서도 도움이 될까요? 이 두 식을 더하면 좌변에는 8x-12y라는 식이 남습니다 좌변에서 어떤 변수도 없어지지 않고 우변에는 숫자만 남아있습니다 두 식을 뺀다 하더라도 변수는 없어지지 않죠 그렇다면 가감법을 어떻게 활용해야 할까요? 바로 이 등식에 어떤 수를 곱해서 변수들이 서로 소거되어 사라지도록 하면 됩니다 어떤 변수를 소거할지 선택할 수 있습니다 예를 들어 y를 소거한다고 합시다 식을 다시 한번 써 볼게요 5x - 10y = 15 이 초록색 등식에 어떤 수를 곱해야 -2y항으로 -10y를 소거할 수 있을까요? 즉 -2y항을 10y로 만들어야 합니다 이 항이 10y일 때 등식의 좌변끼리 더하면 서로 소거되기 때문이죠 그렇다면 어떤 수를 곱할 수 있을까요? 이 항에 -5를 곱한다면 -5 곱하기 -2는 10이 되죠 그러므로 이 등식에 -5를 곱해 봅시다 먼저 좌변에 -5를 곱하고 우변에도 -5를 곱합니다 무엇이 될까요? 지금 하는 과정은 이 등식을 다른 등식으로 바꾸는 것이 아닙니다 양쪽 변에 같은 수를 곱했어요 식의 좌변에서 3x에 -5를 곱하면 -15x가 됩니다 -5 곱하기 -2y는 10y이고 우변에서 3 곱하기 -5는 -15가 됩니다 이제 가감법을 이용해 볼까요? 이 식을 노란색 식의 좌변에 더하고 -15를 노란색 식의 우변에 더하는 것은 결국 노란색 식의 양변에 같은 값을 더하는 것입니다 이 두 개의 값이 같기 때문이죠 그러니 해 봅시다 5x - 15x 여기 -부호가 있죠 -10x가 됩니다 y항은 모두 소거돼서 -10y + 10y = 0y가 됩니다 이렇게 만들기 위해 식에 -5를 곱한 것입니다 우변은 15 - 15 = 0이죠 따라서 -10x = 0이 됩니다 양변을 -10으로 나누면 x = 0입니다 이제 두 개의 등식 중 하나에 수를 대입해서 y값을 찾아야 합니다 위쪽 식에 x값을 대입해 봅시다 그러면 5(0) - 10y = 15가 되죠 따라서 -10y = 15라고 할 수 있습니다 양변을 -10으로 나누면 y는 -15/10, 즉 -3/2와 같습니다 이것을 그래프로 그린다면 교점은 (0, -3/2)가 됩니다 그리고 이 점은 이 등식을 만족합니다 원래 있었던 식은 3x - 2y = 3이었죠 3(0) - 2(-3/2)에서 3 곱하기 0은 0이고 -2 곱하기 -3/2는 3입니다 +3은 3과 같습니다 따라서 x와 y값이 두 식을 모두 만족시킨다는 것을 알 수 있습니다 이렇게 어떤 수를 곱해서 등식을 변형한 뒤 한 가지 변수를 소거하는 문제를 한 번 더 풀어봅시다 등식 5x + 7y = 15와 등식 7x - 3y = 5가 있습니다 아까와 마찬가지로 두 식의 변수들은 계수가 같거나 부호가 반대인 계수가 없으므로 두 식의 좌변을 더하거나 빼봤자 어떤 변수도 소거할 수 없습니다 이제 소거할 변수를 골라 봅시다 이번에는 x를 소거해 볼까요? 소거할 때는 아무 변수나 골라도 괜찮습니다 y를 소거해도 되지만 이번에는 x를 소거해 보겠습니다 먼저 두 식의 좌변을 더하면 소거될 수 있도록 둘 중 하나 또는 두 식 모두 계수가 같거나 계수의 부호가 반대되게 식을 변형해야 합니다 소거하는 방법은 여러 가지가 있습니다 이 식에 분수를 곱해서 -5로 만들 수도 있고 이 식에 분수를 곱해서 -7로 만들 수도 있습니다 하지만 더 재미있는 방법은 두 수에 각각 어떤 수를 곱해서 최소공배수가 되도록 만드는 것입니다 둘 다 35가 되도록 만들 수 있습니다 따라서 두 수를 서로 곱해야겠죠 그러면 위의 식에는 7을 곱해야 합니다 7을 곱해야 계수가 35가 되기 때문이죠 밑의 식에는 -5를 곱해 줍니다 계수를 -35로 만들기 위해 수를 곱하는 것입니다 x를 소거해야 하므로 여기를 35로 만들고 여기도 -35로 만들면 소거할 수 있습니다 두 등식의 좌변과 우변을 각각 더해 봅시다 위의 등식에 7을 곱하면 좌변은 35x + 49y이고 우변은 70 더하기 35 즉 105입니다 따라서 식은 35x + 49y = 105 입니다 위의 등식을 변형해 보았습니다 밑의 등식을 계산해 봅시다 좌변에서 -5 곱하기 7x는 -35x이고 -5 곱하기 -3y는 15y가 됩니다 - 는 서로 곱해져서 없어지겠죠 우변은 5 곱하기 -5입니다 5 곱하기 -5는 -25죠 이제 이 위에 있는 식의 양변에 같은 수를 더해 봅시다 -25를 더할건데 -25는 이 식과도 같습니다 그러면 이제 두 등식의 좌변과 우변을 더해 봅시다 결과적으로는 양변에 같은 값을 더하는 것입니다 두 식을 더하면 좌변에서 x항은 소거됩니다 35x - 35x이기 때문이죠 이렇게 하기 위해서 수를 곱해준 것이죠 x는 없어지고 y항은 49y + 15y 이므로 64y가 됩니다 좌변은 64y가 남고 우변은 105 - 25, 즉 80입니다 양변을 64로 나누면 y = 80/64입니다 이 분수의 분자와 분모를 각각 8로 나누면 16이 좋을 것 같네요 하지만 8의 배수를 알고 있으니 8로 먼저 해 봅시다 그러면 10/8이 되고 다시 2로 나누면 5/4가 됩니다 만약 16으로 나누었다면 바로 5/4가 나왔을 것입니다 그러므로 y = 5/4입니다 이번에는 x값을 알아 봅시다 두 등식 중 하나에 y값을 대입하거나 원래 식에 대입해서 구할 수 있어요 원래 등식 중 두 번째 식에 대입해 봅시다 7x - 3y = 5입니다 이는 오른쪽 두 번째 식의 원래 형태입니다 그려면 7x - 3(5/4) = 5이고 이는 7x - 15/4 = 5라고 할 수도 있습니다 이제 15/4를 더해볼게요 여기서 제가 실수를 했네요 7x - 3(5/4) 실수한게 아니었군요 3을 곱하면 15/4가 되고 이 식은 5와 같습니다 이제 15/4를 양변에 더해 봅시다 그러면 무엇이 남을까요? 좌변은 15/4가 소거되어 7x가 남습니다 우변의 5는 20/4와 같습니다 20/4 + 15/4 따라서 창을 조금 내릴게요 7x = 35/4입니다 양변에 1/7을 곱하거나 양변을 7로 나누어 봅시다 양변에 1/7을 곱하는 것은 7로 나누는 것과 같습니다 여기는 소거되고 x가 남죠 우변을 계산하면 35를 7로 나누면 5가 남고 7을 7로 나누면 1이 남습니다 따라서 x = 5/4입니다 이 두식의 교점은 x와 y 둘 다 5/4입니다 그래프를 이용해서 표현한다면 (5/4, 5/4)가 되겠죠 이것이 위에 있는 등식을 만족하는지 확인해 봅시다 5 곱하기 5/4 더하기 7 곱하기 5/4는 무엇일까요? 이것은 15와 같아야 합니다 이 식은 25/4 + 35/4이며 이것은 60/4와 같고 결국 15와도 같습니다 따라서 위의 등식을 만족합니다 아래 등식도 직접 확인해 보세요 밑의 등식을 이용해서 x값을 구했기 때문에 밑의 등식도 만족할 것입니다