다항식의 인수분해: 공통 인수와 넓이

아래에 있는 직사각형의 면적은 12 x 사승 더하기 6 x 삼승 더하기 15 x 제곱(제곱미터)입니다 아래 그림 같이 면적을 나누어 12 x 사승은 녹색으로 6 x 삼승은 보라색으로 15 x 제곱은 파란색으로 나타내었습니다 이 각각을 더하면 전체 직사각형과 같습니다 즉 12 x 사승 더하기 6 x 삼승 더하기 15 x 제곱입니다 직사각형의 세로(미터)는 여기 표현되어 있는게 우리가 지금 얘기하고 있는 세로입니다 바로 이 거리 말입니다 직사각형의 세로(미터)는 12 x 사승과 최대공약수가 됩니다 6 x 삼승과 15 x 제곱 사이의 직사각형의 세로와 가로는 얼마일까요? 영상을 멈추고 혼자 힘으로 해보길 권합니다 문제 해결의 핵심은 세로 곱하기 가로는 전체 직사각형 면적과 같다는 것입니다 세로는 3개 단항식의 최대공약수입니다 12 x 사승과 6 x 삼승과 15 x 제곱 인수분해해서 남는 것이 가로가 될 것입니다 그럼 최대공약수가 무엇인지 찾아봅시다 단항식 3개의 최대공약수 우선 계수들의 최대공약수를 찾아봅시다 12, 6과 15 사이의 찾을 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다 그 중 소인수분해를 통해 찾을 수 있습니다 이렇게 볼 수 있겠네요 12는 2 곱하기 6이고 6은 2 곱하기 3입니다 이렇게 12를 소인수분해할 수 있습니다 6을 소인수분해하면 2 곱하기 3입니다 15를 소인수분해하면 3 곱하기 5입니다 최대공약수는 이 숫자 모두를 나눌 수 있는 최대값으로 보시면 3이라는 것을 알 수 있습니다 3은 모두를 나눌 수 있는 수입니다 3과 2라고 할 수 없으므로 3이 답입니다 3과 2는 12와 6은 나눌 수 있지만 2는 15를 나눌 수 없습니다 3과 5라고 생각한 경우 5는 12나 6을 나눌 수 없습니다 따라서 최대공약수는 3이라 할 수 있습니다 다른 방법으로 각 수의 공약수를 각각 따져볼 수도 있습니다 12를 가지고 할 때는 12를 표현할 수 있는 방법으로 1 곱하기 12 또는 2 곱하기 6 또는 3 곱하기 4라고 말할 수 있습니다 6은 1 곱하기 6 또는 2 곱하기 3일 수 있습니다 이것들은 6의 약수입니다 15는 1 곱하기 15라 할 수 있습니다 또는 3 곱하기 5 최대공약수는 무엇입니까? 여기 써 있는 것 중에 3이 가장 큰 수입니다 세수들 사이에 공통인 약수가 되는 것입니다 다시 한 번 정리하면 최대공약수는 12, 6,과 15사이의 3입니다 단항식의 최대공약수의 계수는 3이 됩니다 이제 x의 거듭제곱을 살펴보도록 하겠습니다 x 사승이 있고 다른 색깔로 표시하겠습니다 x 사승이 있고 x 삼승과 x 제곱이 있습니다 세 식을 모두 나눌 수 있는 x의 차수 중 가장 큰 것은 무엇일까요? x 제곱이라고 할 수 있습니다 x 제곱으로 x 사승을 나눌 수 있고 x 삼승과 x 제곱도 나눌 수 있습니다 따라서 단항식의 최대공약수는 3 x제곱입니다 직사각형의 세로가 3 x제곱입니다 3 x제곱을 구했기 때문에 이제 알아낼 수 있습니다 가로가 무엇인지를 12 x사승을 3 x제곱으로 나눈다면 어떻게 될까요? 12를 3으로 나누면 4이고 x 사승을 x 제곱으로 나누면 x 제곱입니다 참고로 3 x제곱 곱하기 4 x제곱은 12 x 사승입니다 보라색 부분으로 넘어가겠습니다 6 x삼승을 3 x 제곱으로 나누면 6 나누기 3은 2이고 x 삼승 나누기 x 제곱은 x가 될 것입니다 마지막으로 15 나누기 3은 5이고 x 제곱을 x 제곱으로 나누면 1이 됩니다 그냥 5만 남습니다 가로는 4 x 제곱 더하기 2 x 더하기 5가 될 것입니다 세로는 앞에서 구해 보았듯이 세 단항식의 최대공약수인 3 x제곱입니다 가로는 4 x제곱 더하기 2 x 더하기 5가 됩니다 이것을 유도할 수 있는 한 가지 방법은 이 식을 우리가 했던 것처럼 공약수를 구해주는 것입니다 그것을 적어볼 수 있겠네요 원래의 식을 보고 싶은데요 3 x 제곱 곱하기 (4 x 제곱 더하기 2 x 더하기 5) 그것이 전체 가로가 될 것이고 직사각형 전체 면적과 같습니다 처음식과 같아야 합니다 12 x 사승 더하기 6 x 3승 더하기 15 x 제곱