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여기에는 12 분의 x-9는 3 분의 2와 같다는 비례식이 있습니다 우리는 이 비례식에 만족하는 x 값을 구해야 합니다 방법은 여러 가지가 있지만 많은 사람들은 이런 비례식을 보자마자 교차로 곱하고 싶을 것입니다 그들은, 3 곱하기 x 빼기 9는 2 곱하기 12와 같을 것이라고 말할 것입니다 이 방법은 매우 적합하죠 3 곱하기 (x 빼기 9)는 2 곱하기 12 와 같습니다 그다음에는 3을 분배해 줄 수 있을 것입니다 3x 빼기 27은 24와 같다 라는 것을 알게 됩니다 그다음에는 양쪽에 27을 더하면 됩니다 따라서 남겨진 3x는 51과 같군요 따라서 x는 17이 됩니다 검산을 한번 해봅시다 17 빼기 9는 8입니다 8/12은 2/3와 같습니다 따라서 구한 값이 맞는 것이죠 또 한가지 방법은, 바로 교차 곱셈을 하는 것보다 분모인 12를 없애기 위해 양쪽에 12를 곱해줄수 있습니다 따라서 우리가 12를 양쪽에 곱하면, 왼쪽에는 단지 x-9 만 남아있을 것이고 오른쪽에는 2/3 곱하기 12가 있을 것입니다 2/3 곱하기 12는 8이죠 그리고 직접 곱셈을 해볼 수 있습니다 2/3 곱하기 12/1 12 와 3이므로, 따라서 12는 3 곱하기 4이고 3 나누기 3은 1이죠 따라서 2 곱하기 4/1이 되고 이것은 8입니다 다음에는 양쪽에 9를 더합니다 대수학의 묘미는 우리가 논리적으로 일치하는 계산만 한다면 정답을 얻게 된다는 것입니다 문제를 풀기 위한 방법이 한 가지만 있는 것이 아닌 거죠 따라서 우리는 x가 17이라는 것을 알게 되었습니다 양변을 12로 곱하고 양변을 3으로 곱하면 그것은 기능적으로 교차 곱셈과 같은 것이 됩니다 한 개만 더 해보도록 하겠습니다 여기에 또 다른 비례식이 있습니다 이번에는 x가 분모 입니다 하지만, 저번과 마찬가지로 우리가 원한다면 교차 곱셈을 할 수 있습니다 또한 교차 곱셈의 원리는 마술이 아니라 논리적인 대수학입니다 양변의 식에 같은 연산을 해주고 다시 말해서 양 변에 두 분모를 곱하고 있다는 것을 이해하면 됩니다 따라서 우리는 여기 왼쪽에 8이 있습니다 만약 우리가 왼쪽의 분모에 있는 8을 없애고 싶다면 우리는 왼쪽에 8을 곱하면 됩니다 하지만 등식이 계속 성립하려면 한쪽에만 무엇을 할 수는 없습니다 양 변에 곱해주어야 하죠 비슷하게, 만약 우리가 x+1을 분모에서 없애고 싶다면, 우리는 x+1을 여기에 곱할 수도 있습니다 하지만 이 공식이 성립하려면 양 변에 곱해주어야 합니다 방금 풀이한 방식은 결국 교차 곱셈과 똑같은 것임을 알게 됩니다 8이 약분되고, 이 x+1이 여기 있는 x+1과 함께 사라지기 때문이죠 따라서 좌변에 x+1 곱하기 7이 남게 됩니다 이것을 7 곱하기 x 더하기 1이라고 볼수 있죠 우변은 5곱하기 8과 같습니다 이렇게 한다면 교차 곱셈했을 때와 똑같은 결과가 나오게 됩니다 교차 곱셈은 그저 양변을 두 개의 분모로 곱하는 지름길인 것이죠 7 곱하기 x+1 은 5 곱하기 8과 같다는 식이 나오게 되고 이 식을 풀기만 하면 됩니다 따라서 7을 분배하면 7x+7은 40과 같다는 것이 나옵니다 양변에서 7을 빼면 양변에서 7을 빼봅시다 우리는 7x는 33과 같다는 식이 남습니다 양변을 7로 나누면 x는 33/7과 같습니다 만약 우리가 답을 대분수로 나타내고 싶다면 4와 5/7과 같습니다