2단계로 푸는 방정식이란?

조금 더 복잡한 방정식을 풀어 봅시다 3x + 5 = 17이라는 방정식이 있습니다 지난번 방정식과 이 방정식의 차이점은 뒤에 5가 더해졌다는 것입니다 만약 3x = 17이 주어졌다면 양변을 3으로 나눠서 해를 구했겠지요 그런데 뒤에 5가 더해져 식이 조금 복잡해졌습니다 먼저 식이 의미하는 바를 생각해 봅시다 이 방정식을 그림으로 그려서 풀어 볼게요 그러면 계산 과정이 잘 이해될 거예요 여기에 쓰겠습니다 3x는 말 그대로 x + x + x를 의미합니다 그리고 5가 더해졌으므로 동그라미 5개를 그려 볼게요 1, 2, 3, 4, 5 이것이 바로 3x + 5를 표현한 것이고 등호를 쓴 뒤 우변에 동그라미를 17개 그려 볼게요 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 우변과 좌변이 같으므로 양변에 같은 연산을 해줘야 합니다 좌변에서 동그라미를 1개 지운다면 우변에서도 1개를 지워야 식이 성립합니다 이 식을 익숙한 형태로 바꾸려면 어떻게 해야 할까요? 좌변에 5를 없애고 3x만 남겨 봅시다 그러려면 동그라미를 5개 지워주면 되겠죠? 동그라미 5개를 지워 봅시다 1, 2, 3, 4, 5 앞서 말했듯이 식이 계속 성립하기 위해서는 좌변에서 5개를 지웠다면 우변에서도 5개를 지워야 합니다 그러므로 우변에서도 동그라미 5개를 지워 줍니다 이 과정을 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 양변에서 5를 뺀다고 할 수 있겠죠 지금 한 과정이 양변에서 5를 빼준 거예요 그러므로 식의 좌변에서 5를 빼주고 우변에서도 5를 뺴 줍시다 식의 좌변을 계산하면 어떻게 될까요? 5 - 5 = 0이므로 3x만 남습니다 따라서 좌변에는 3x만 남습니다 5와 -5가 소거되었어요 그림에서도 확인할 수 있듯이 좌변에서 동그라미 5개를 지웠더니 3개의 x만 남았습니다 좌변에 3x만 남기기 위해 5를 빼준 것입니다 그러면 우변은 어떻게 될까요? 우변을 계산해보면 17 - 5 = 12죠 오른쪽 그림의 동그라미 개수를 세어보면 처음에 있던 17개의 동그라미에서 5개를 지웠더니 12개가 남았죠 이 과정은 5를 빼주는 것과 같습니다 이제 식을 간단히 정리했습니다 3x = 12 이제 양변을 3으로 나눠서 좌변에 x만 남겨 봅시다 다른 색으로 써 볼게요 좌변을 3으로 나눠주고 우변도 3으로 나눠줍니다 그림을 보면 이제 좌변에는 동그라미가 없으므로 이 부분은 지워 줄게요 우변의 이 동그라미들도 지워줘야겠죠 이미 빼준 부분은 지워줄 거예요 이 부분도 지우고 여기도 지울게요 이제 양변을 3으로 나눠 봅시다 좌변을 3으로 나누면 한 묶음에 x를 1개씩 3묶음으로 나눌 수 있고 우변을 3으로 나누면 한 묶음에 동그라미 4개씩 3묶음으로 나눌 수 있습니다 식에서 풀어보면 3이 소거되겠죠 3x을 3으로 나누면 x가 남습니다 그러므로 좌변에는 x만 남게되고 12/3 = 4이므로 x = 4가 됩니다 그림에서도 마찬가지입니다 3x를 3묶음으로 나누면 한 묶음에 x가 1개씩 들어갑니다 또한 12를 3묶음으로 나누면 한 묶음에 1이 4개씩 들어갑니다 그러므로 x는 4와 같게 되겠죠 따라서 x = 4입니다 다른 문제를 풀어보겠습니다 이번에는 그림으로 풀지 않을 거예요 하지만 문제를 푸는 과정은 같습니다 아래에 풀어 볼게요 7x가 있다고 합시다 조금 더 복잡한 식을 만들어 볼게요 7x - 2 계산 과정이 딱 떨어지지 않도록 만들어 보려고 합니다 7x - 2 = -10 식에 음수가 들어있지만 풀이 과정은 같아요 먼저 좌변에 7x만 남겨야 합니다 그러려면 -2를 없애줘야겠죠? -2를 없애기 위해서는 얼마를 더하거나 빼야할까요? 좌변에 2를 더해주면 2가 소거되겠죠 좌변과 우변은 값이 같으므로 우변에도 2를 더해줘야 합니다 좌변을 계산해 볼까요? -2 + 2 = 0이므로 7x만 남게 됩니다 0은 굳이 써주지 않아도 됩니다 우변의 -10 + 2는 얼마일까요? 음수의 덧셈, 뺄셈을 복습해 볼까요? 여기에 수직선을 그리고 0과 1을 표시할게요 양의 방향으로 수직선을 계속 연장할 수 있습니다 -10은 여기쯤 있겠죠 -10, -9, -8, -7 .... 이 사이에도 많은 수들이 존재합니다 표시할 공간이 부족하네요 어쨌든 -10에서 시작해서 2를 더해 줍시다 수직선에서 양의 방향으로 2만큼 움직이면 되겠지요 두 칸 움직이면 -8이 됩니다 주의할 것은 10에서 2만큼 움직였을 때는 12가 맞지만 -10에서는 2만큼 움직이면 -12가 되지 않죠 -10에서 -2만큼 움직여야 -12가 됩니다 음수 -10에서 시작했지만 오른쪽으로 2만큼 이동했으므로 여기는 -8이 됩니다 따라서 식은 7x = -8이 되었습니다 이런 종류의 방정식은 어떻게 풀어야 할까요? 우변에 음수가 있지만 방법은 똑같습니다 좌변에 x만 남기기 위해서 7로 나눠줘야겠죠 7x를 7로 나누어주면 7끼리 약분되므로 x만 남게 됩니다 좌변을 7로 나눠주면 7이 약분되겠죠 좌변을 7로 나눴으니 우변도 7로 나눠 봅시다 그래야 식이 계속 성립하겠죠? 우변도 7로 나누어 줍시다 따라서 식은 x = -8/7이 되었습니다 계산기를 사용해서 소수로 나타내어도 되고 그대로 분수로 써도 됩니다 x = -8/7 -8/7을 대분수로도 나타내 봅시다 8을 7로 나누면 몫이 1이고 나머지가 1이므로 -1과 1/7 입니다 -8/7, -1과 1/7 모두 답입니다