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이번 시간에는 양수와 음수의 곱셈과 나눗셈이 있는 부등식에 대해 배워 보겠습니다 지난 강의에서 단순히 수를 더하고 뺐던 것보다는 좀 더 어려울 거예요 그리고 부등식의 해를 구하는 여러 가지 방법도 알아봅시다 예제를 몇 개 살펴볼까요? -0.5x ≤ 7.5 만약 이 식이 등식이었다면 당연히 양변을 x항의 계수로 나누었겠죠 x항의 계수는 -0.5이므로 양변을 -0.5로 나누었을 거예요 부등식에서는 이런 계산을 해줄 때 주의할 점이 있어요 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눠줄 때는 부등호의 방향이 반대가 됩니다 예를 들어 볼까요? 1이 2보다 작다고 합시다 당연히 1은 2보다 작겠죠? 이 부등식의 양변에 -1을 곱하면 어떻게 될까요? -1과 -2가 되겠죠 -2는 -1보다 더 작은 수입니다 그러므로 부등호의 방향이 반대로 바뀌어야 되겠죠 이렇게 부등호의 방향이 바뀌는 과정을 살펴보았어요 어떤 수가 더 클 때 양변에 음수를 곱해주면 더 큰 수가 작은 수가 됩니다 반대의 경우도 마찬가지죠 그렇기 때문에 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나누면 부등호의 방향이 반대로 바뀌는 것입니다 그렇다면 부등식의 양변에 수를 곱해 봅시다 양변을 0.5로 나누는 것은 2를 곱해주는 것과 같습니다 좌변의 x의 계수를 1로 만들어 볼 거예요 이 부등식의 양변에 -2를 곱해 봅시다 (-2) · -0.5 왜 여기서 2를 곱해주는 걸까요? 0.5에 어떤 수를 곱해야 1이 되는지를 생각해 보세요 -0.5는 -1/2과 같죠? 이것의 역수는 -2입니다 그렇기 때문에 부등식의 양변에 -2를 곱하는 거예요 우변의 7.5에도 마찬가지로 -2를 곱해 줍니다 부등식의 양변에 음수를 곱해주거나 음수로 나눠줄 때는 부등호의 방향이 반대로 바뀌죠? 그러므로 부등호는 '작거나 같다'에서 '크거나 같다'로 바뀌었습니다 좌변을 계산하면 (-2) · (-0.5) = 1이죠 우변을 계산하면 7.5 · (-2) = -15이므로 부등식은 x ≥ -15가 됩니다 -15보다 크거나 같은 x값들은 이 식을 만족할 거예요 0을 예로 들어 볼까요? 0은 -15보다 크죠 -16은 어떨까요? -16은 부등식을 만족하지 못합니다 (-16) · (-0.5) = 8이므로 7.5보다 작지 않아요 해의 집합을 수직선에 나타내 봅시다 -15보다 크거나 같은 값이므로 여기가 -15라면 -16과 -14는 여기 있을 거예요 따라서 -15보다 크거나 같은 값은 이렇게 되겠죠 이 부등식의 해를 구간으로 나타낼 수도 있어요 구간으로 나타내는 표현은 연습이 필요해요 -15도 포함해야 하므로 이 구간의 하한 값은 -15입니다 여기 쓴 대괄호는 -15를 포함한다는 뜻입니다 이 해의 집합은 -15를 포함하며 무한대까지 이어집니다 여기에는 소괄호를 써 줍니다 소괄호는 상한 값을 포함하지 않는다는 것을 의미해요 소괄호는 보통 무한대를 나타낼 때 사용합니다 무한대는 일반적인 수가 아니에요 무한대에는 도달할 수가 없어요 소괄호는 경계를 포함하지 않는다는 것을 의미하므로 항상 무한대와 함께 사용됩니다 따라서 위의 부등식과 이것은 같은 표현입니다 해를 조건부 집합으로 나타낼 수도 있습니다 x가 실수라는 가정하에 x ≥ -15입니다 괄호는 x가 실수인 모든 수의 집합이며 x는 -15보다 크거나 같다는 것을 표현합니다 이 세 가지 표현은 모두 같은 의미입니다 예제를 몇 개 더 살펴봅시다 75x ≥ 125라고 합시다 여기서 양변을 75로 나눌 수 있겠죠 75는 양수이므로 부등식의 방향은 변하지 않아요 그러면 부등식은 x ≥ 125/75가 되며 분자와 분모를 25로 약분해주면 5/3가 됩니다 따라서 x ≥ 5/3입니다 또는 5/3를 포함하며 무한대까지 나가는 집합으로 나타낼 수도 있어요 이를 수직선에 나타내면 어떻게 될까요? 5/3는 1과 2/3죠 수직선에 0, 1, 2를 표시하면 1과 2/3는 여기쯤에 올 거예요 이 부분도 포함되며 이 부분이 바로 5/3입니다 이 값보다 크거나 같은 모든 수는 해가 됩니다 하나 더 살펴봅시다 x/(-3) ≥ -10/9이라고 합시다 양변에 -3을 곱해서 좌변에 x만 남겨 봅시다 x항의 계수는 -1/3이며 이 수의 역수는 -3이 되겠죠 부등식의 양변에 -3을 곱해 봅시다 부등식의 좌변은 (-3) · (-1/3)x이고 우변은 (-10/9) · (-3)입니다 음수를 곱했기 때문에 부등호의 방향이 바뀔 것입니다 따라서 부등호의 방향은 (-3) · (-1/3)x < (-10/9) · (-3)이 됩니다 좌변은 약분되어 x가 되겠죠? -3이 서로 약분됩니다 우변은 두 음수의 곱이므로 양수가 되고 분자와 분모를 3으로 나누면 분자는 1이 되고 분모는 3이 되므로 x < 10/3이 됩니다 해집합을 구간으로 나타내 볼까요? 상한 값은 10/3이며 부등호에 등호가 없으므로 10/3은 포함되지 않습니다 그러므로 여기에 소괄호를 써 줍니다 왼쪽의 대괄호는 5/3를 포함한다는 의미이고 오른쪽의 소괄호는 10/3을 포함하지 않는다는 의미예요 10/3부터 음의 무한대까지 이어집니다 10/3보다 작은 모든 수는 집합 안에 포함되어 있습니다 이를 수직선에 나타내 봅시다 수직선에 0, 1, 2, 3, 4를 표시해 볼게요 10/3은 3과 1/3이므로 이쯤에 오겠죠 해는 10/3보다 작은 수이므로 10/3은 해집합에 포함되지 않습니다 여기가 10/3이며 10/3보다 작은 모든 수가 해의 집합에 포함됩니다 한 문제 더 살펴봅시다 부등식 -x/15 < 8이 있습니다 이 식의 양변에 -15를 곱해 봅시다 좌변은 -15 · x/(-15)이고 우변은 8 · (-15)가 됩니다 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀌죠? 그러므로 부등호는 -15 · x/(-15) > 8 · (-15)가 됩니다 좌변은 -15가 소거되어 x가 됩니다 우변을 계산하면 8 · (-15) = -120이므로 x > -120이 됩니다 이를 해의 집합으로 나타내면 -120부터 시작하지만 -120은 포함하지 않겠죠 부등호에 등호가 없기 때문입니다 그리고 무한대까지를 나타냅니다 이를 수직선에 나타내 볼까요? -120이 여기있다면 0은 여기쯤에 있겠죠 그리고 -121과 -119는 여기쯤에 있을 거예요 부등식에 등호가 없으므로 -120은 포함하지 않습니다 해의 범위는 -120보다 큰 모든 수입니다 부등식을 만족하는 범위를 색칠해 볼게요 확인해 볼까요? 0을 대입해 보면 0/15 = 0이므로 8보다 작습니다 이렇게 범위 내의 수를 대입해서 성립하는지 확인할 수 있어요 여기 까지입니다 다음 강의에서 만나요