미지수가 2개인 일차방정식이란? (중등2학년)

이번 수업에서는 일차방정식에 대해 배워 보겠습니다 예제를 통해 시작해 봅시다 y= 2x-3 일차방정식의 예입니다 왜 이 식을 일차방정식이라고 부를까요? 이 식을 만족시키는 모든 (x, y)를 좌표평면에 표시하여 그래프를 그리면 하나의 선으로 나타낼 수 있습니다 그것이 이 식을 선형(Linear) 방정식이라고도 부르는 이유입니다 이 방정식을 만족시키는 (x,y)를 좌표에 그려 봅시다 먼저 x값을 정하고 x에 대응하는 y를 구해 봅시다 x가 0이면 y는 -3이므로 좌표 (0,-3)을 찾아 표시해 봅시다 x좌표는 0이고, 세로축으로 3칸 내려가면 -3이네요 좌표 (0, -3)입니다 x가 1이면 y는 얼마일까요? 2 곱하기 2 빼기 3은 -1이네요 x 축에서 양의 방향으로 1만큼 움직이고 y 축의 음의 방향으로 1만큼 움직이면 됩니다 x가 2이면 y는 얼마인가요? 2 곱하기 2 빼기 3은 1입니다 x=2일때 y=1 즉, (2,1)입니다 만약 x=3, 4,5 ... 계속해서 이 점들을 표시한다면 하나의 선을 만들 수 있을 것입니다 이 점들을 이으면 하나의 선이 만들어지는지 살펴보도록 합시다 이 점들을 깔끔하게 이으면 이러한 선이 만들어집니다 제가 그린 이 선이 y = 2x -3의 그래프입니다 이 방정식을 만족하는 모든 (x,y)의 점을 나타내면 이러한 선이 될것입니다 몇 개의 점들만으로 하나의 선을 만들 수 있는지 의문이 들겠죠? 여기서는 몇몇 점들만 표시했지만 어떤 x에 대해서도 y값을 구할 수 있으며 x에 대응하는 y의 값은 이 선 위에 있게 됩니다 예를 들면 x = -0.5라면 그래프에서 x가 -0.5인 지점을 찾아보면 y = -4가 되고 이 점은 이 그래프 위에 있습니다 검토해 보도록 합시다 만약 x가 -1/2이면 y의 값은 얼마일까요? 2 곱하기 (-1/2) 빼기 3은 -4입니다 이 방정식에 대해 어떤 x의 값을 대입하더라도 y의 값은 이 직선위에 있게 됩니다 이 점은 이 일차방정식의 해입니다 이 점도 이 일차방정식의 해가 됩니다 그러나 이 점은 이 일차방정식의 해는 아닙니다 x=5일때 y=3 은 이 방정식의 해가 아닙니다 x=5일때 이 그래프를 보면 y=7이 이 방정식의 해가 됩니다 2 곱하기 5 빼기 3은 7입니다 (5,7) 은 y = 2x-3의 방정식을 만족시킵니다 이 식을 만족하는 모든 (x,y)를 표시하면 하나의 선이 됩니다 그래서 선형(Linear) 방정식이라고 부르는 것입니다 이것이 일차방정식을 표현하는 유일한 방법은 아닙니다 다른 색을 이용해서 표현하자면 4x-3y=12 역시 일차방정식인데요 이 방정식을 만족하는 (x,y) 점들을 이으면 하나의 선을 얻을 수 있습니다 x=0 이면 -3y = 12이 됩니다 그러면 y = -4가 됩니다 (0,-4)가 되고 검산해 볼 수 있습니다 4 곱하기 0 빼기 -3 곱하기 -4는 12입니다 만약 y=0 이라면 4x=12가 되고 x = 3이 됩니다 그래프에서 (0,4)는 그래프의 이 지점이고 그리고 (3,0) 은 이 지점입니다 (0,4) (3,0) 두 점 모두 직선위에 있습니다 두 점을 이으면 이 파란색 선 같은 모양이 됩니다 이 방정식을 만족시키는 (x,y)의 모든 점들을 이으면 하나의 선이 됩니다 모든 방정식은 일차방정식일까요? 당연히 아닙니다 일차방정식이 아닌 방정식의 예를 보겠습니다 일차방정식이 아닌 방정식이요 y = x² 와 같은 방정식은 일차방정식이 아닙니다 이 방정식의 그래프는 곡선으로 나타내집니다 xy =12 와 같은 방정식도 일차방정식이 아닙니다 (5/x)+y= 10 이 방정식도 일차방정식이 아닙니다 몇 가지 선형 방정식과 비선형 방정식의 예를 살펴 보았는데요 그렇다면 일차방정식의 정의에 대해 알아봅시다 위와 같은 방정식을 만족하며 직선으로 표현할 수 있는 방정식이 일차방정식입니다 또한 일차방정식의 모든 항은 예제의 12와 -3처럼 변하지 않는 상수항이거나 x에 상수가 곱해진 항입니다 2x는 x에 상수 2를 곱한 항입니다 y도 일차항입니다 하나의 y만 있네요 방정식에서 x나 y를 나누거나 곱하지 않았습니다 그리고 x², x³, y⁵과 같은 항이 존재하지 않습니다 여기는 단지 x항과 y항만 존재하고 xy를 서로 곱하지도 않았습니다 방정식에서는 상수항이 있고 각 항이 각각 일차이고 각 항끼리 곱하거나 나누지 않았다면 일차방정식을 다루고 있는 것입니다