지수의 곱셈 & 나눗셈 (정수인 지수)

지수가 정수인 거듭제곱 연습문제를 통해 지수의 곱셈과 나눗셈을 연습해 봅시다 3의 -8제곱 곱하기 7의 3제곱이 있습니다 그리고 이 식 전체를 -2제곱 하려고 합니다 동영상을 잠시 멈추고 이 식을 간단히 해 보세요 이 문제를 푸는 방법은 여러 가지입니다 하지만 여기서 중요한 것은 두 거듭제곱을 곱한 뒤 그 값을 다시 어떤 지수만큼 거듭제곱 해 준다면 이는 각 거듭제곱에 어떤 지수만큼 거듭제곱 해준 뒤 두 수를 곱하는 것과 같아요 그러므로 이는 3의 -8제곱의 -2제곱과 7의 3제곱의 -2제곱의 곱과 같습니다 3의 -8제곱의 -2제곱을 정리해 볼까요? 지수법칙을 알고 있죠? 거듭제곱을 다시 거듭제곱해줄 때는 두 지수를 곱하면 됩니다 그러므로 이는 3의 (-8)(-2)제곱입니다 (-8) · (-2) = 16이죠 따라서 이는 3의 16제곱과 같습니다 그렇다면 7의 3제곱의 -2제곱은 7의 (3)(-2)제곱이므로 7의 -6제곱과 같습니다 이 식을 좀 더 간단히 할 수 있어요 7의 -6제곱은 1/7의 6제곱과 같으므로 이를 3의 16제곱과 1/7의 6제곱으로 써줄 수도 있어요 이는 위의 식과 값이 같습니다 이를 다른 방법으로 풀어 볼까요? 처음 식으로 돌아가면 3의 -8제곱은 1/3의 8제곱과 같죠? 그러므로 이는 7의 3제곱과 1/3의 8제곱의 곱으로 나타낼 수 있어요 그리고 전체 식을 -2제곱 해주어야 하죠 분자와 분모에 각각 -2제곱씩 해주는 것입니다 아까 풀었던 과정과 같아요 한 문제 더 봅시다 어떤 식을 써 볼까요? a의 -2제곱과 8의 7제곱을 제곱한 식이 있습니다 마찬가지로 각 거듭제곱에 제곱을 한 것이므로 이 식은 a의 -2제곱의 2제곱과 8의 7제곱의 2제곱의 곱과 같습니다 -2 · 2 = -4이므로 a의 -4제곱이고 7 · 2 = 14이므로 이는 8의 14제곱입니다 다른 동영상에서 이에 대해서 좀 더 깊게 배울 거예요 이것은 8의 7제곱 곱하기 8의 7제곱과 같으므로 두 지수를 더하는 것과 같아요 그래서 8의 14제곱이 되는 것이죠 따라서 8의 7제곱을 몇 번 곱하든 지수를 계속 더해주면 됩니다 또는 곱한 횟수만큼 7에 곱해주면 되겠죠 기본 개념은 거듭제곱을 어떤 지수만큼 거듭제곱 해줬을 때 지수끼리 곱해주기만 하면 된다는 것입니다 이번에는 나눗셈 문제를 살펴봅시다 첫 번째 문제에서 살펴봤던 것이죠 이번에는 2의 -10제곱 나누기 2의 2제곱을 7제곱한 식이 있습니다 이를 다시쓰면 분자는 2의 -10제곱의 7제곱이고 분모는 4의 2제곱의 7제곱입니다 분수 형태로 된 거듭제곱을 어떤 수만큼 거듭제곱한 것은 어떤 수만큼 거듭제곱된 분자를 어떤 수만큼 거듭제곱된 분모로 나눠준 것과 같습니다 분자는 어떻게 될까요? 이전에도 다뤘었죠? 2의 -10제곱의 7제곱은 2의 -70제곱과 같습니다 그리고 분모를 보면 4의 2제곱의 7제곱이죠 2 · 7 = 14이므로 이는 4의 17제곱과 같습니다 이제 이 식을 간단하게 정리해 봅시다 이를 다시 쓰는 방법은 여러 가지입니다 식을 보면 4는 2의 2제곱과 같다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 이 식을 다시 쓸 수 있습니다 분자에는 2의 -70제곱을 그대로 써주고 분모에는 4의 17제곱 대신 여기 숫자를 잘못 썼네요 17제곱이 아니라 14제곱이 되어야 하죠? 분모는 4의 14제곱입니다 이를 다시 써 보면 분자는 2의 -70제곱이고 분모의 4를 2의 2제곱으로 바꾸면 분모는 2의 2제곱의 14제곱입니다 4는 2의 2제곱과 같은 수이기 때문이죠 전체 식을 다시 써 볼게요 분자는 2의 -70제곱이고 분모는 2의 2제곱의 14제곱이므로 2의 28제곱과 같습니다 이를 더 간단히 정리할 수 있을까요? 밑이 같은 수를 나누게 되면 지수끼리 빼줄 수 있습니다 따라서 이 식은 2의 (-70 - 28)제곱이 됩니다 이를 정리하면 2의 -98제곱이 되죠 같은 식을 다른 방법으로 나타내 보았습니다