증명: 삼각형의 내각의 합은 180°

삼각형을 하나 그려 보았습니다 삼각형의 내각을 각각 x, y, z라고 합시다 삼각형 내각의 합인 x + y + z가 180°임을 증명하려고 합니다 이를 증명하기 위해 평행선과 평행선을 가로지르는 선 그리고 동위각의 성질을 이용해 봅시다 먼저 삼각형의 세 변을 연장해서 선분에서 직선으로 만들어 볼게요 이 변을 연장해서 같은 방향으로 계속 가면 주황색 직선이 만들어집니다 이번에는 주황색 직선과 평행하면서 꼭짓점 z를 지나는 직선을 그려 봅시다 z에서 시작해서 주황색 직선과 같은 방향으로 그려 줍니다 주황색 직선과 더 멀어지거나 가까워지지 않으므로 두 직선은 절대 교차하지 않을 거예요 따라서 이 두 직선은 평행합니다 이번에는 이 삼각형의 나머지 두 변을 연장해 보겠습니다 먼저 이 변을 연장해서 직선으로 만들어 볼게요 그러면 이 직선은 다른 두 개의 평행선을 가로지르게 됩니다 한 직선이 평행하는 두 직선을 가로지르면 동위각이 생기죠 여기 이 각은 횡단선이 주황색 직선과 교차해서 생긴 각입니다 횡단선이 파란색 직선과 만나서 생기는 동위각은 무엇일까요? 파란색 직선과 만나서 생기는 각도 x입니다 그리고 x의 맞꼭지각도 있을텐데 x의 맞꼭지각도 크기가 같을 거예요 x의 맞꼭지각은 두 직선의 교차 지점의 반대편에 있겠죠 두 각은 맞꼭지각이므로 이 각의 크기가 x라면 이 각의 크기도 x가 될 거예요 이제 나머지 변을 연장해 봅시다 이 변을 연장해서 직선으로 만들어 볼게요 분홍색 직선과 마찬가지로 두 평행선을 가로지르네요 여기 있는 각 y는 주황색 평행선과 초록색 직선이 교차해서 생긴 각입니다 이 각의 동위각은 어디 있을까요? 이 각은 교차 지점의 왼쪽에 있으므로 이 각의 동위각은 여기에 있겠죠 초록색 선과 파란색 평행선이 교차해서 생기는 각입니다 이 각의 맞꼭지각은 이 각이므로 이 각 역시 y가 됩니다 이제 증명이 거의 다 끝났습니다 각 x와 각 z는 서로 이웃하는 각이죠 이 두 각을 하나의 큰 각으로 본다면 이 각의 크기는 얼마일까요? 이 각의 크기는 (x + z)가 됩니다 그리고 이 각은 옆에 있는 각 y의 보각입니다 그러므로 각 (x + z)와 분홍색 각 y를 더하면 180°가 될 거예요 두 각은 보각이기 때문이죠 따라서 넓은 각의 크기 (x + z)와 이 각의 보각인 분홍색 각의 크기 y를 더해주면 x + z + y = 180°가 됩니다 이렇게 증명을 끝냈습니다 삼각형의 내각의 합은 x + z + y입니다 이를 알파벳 순서대로 다시 쓰면 x + y + z입니다 순서대로 쓰는게 보기 편하겠죠? 따라서 x + y + z = 180°입니다 증명이 끝났습니다