닮음을 이용하여 문제 풀기: 대응하는 변을 이용하여 길이 구하기

이 문제에서는 변BC의 길이를 구하라고 하네요. 여기 각각 변의 길이가 다른 삼각형이 많이 있습니다. 직각도 몇 개 있군요. 아마 몇몇 삼각형들 사이에서 유사점을 찾을 수 있을 것 같네요. 여기서는 3개의 다른 삼각형이 보이는데요, 이 삼각형, 이 삼각형, 그리고 더 큰 삼각형 말이죠. 유사점을 찾아보자면 변들의 비를 이용하여 BC의 길이를 구할 수 있을 것 같아요. 보시다시피, 여기 직각이 있네요. 따라서 삼각형BDC에는 한 개의 직각이 있고, 삼각형ABC에는 또다른 직각이 있네요. 만약 두 삼각형이 또다른 공통의 각을 가지고 있다고 할 수 있다면, 그들이 닮음이라고 할 수 있습니다. 사실 삼각형BDC와 ABC는 여기 이 각을 공통으로 가지고 있습니다. 따라서 만약 그들이 이 각을 공유한다면, 두개의 각을 공유하게 되고 여기 있는 각도 공유하게 되겠네요. 다른 색으로 칠해볼게요. 다른 각들과 차이를 두기 위해서요. 두 삼각형은 이 각을 공유하고 우리는 이 두 삼각형이, 최소 두 각이, 혹은 두 동일한 각을 가지고 있는 이 두 삼각형이 닮음이라는 것을 알 수 있겠죠. 여기 한번 적어볼게요, 삼각형ABC, 표시가 안된 각부터 오른쪽으로 가면서 적어볼게요. 노란색 각, 주황색 각 순서로 말이죠. 이렇게 적어볼게요. 표시가 안된 각부터 주황색 각, 아니 노랑색 각 순서로 적어보면 죄송해요, 색깔이 좀 헷갈리네요. 노란색, 주황색 순으로 적어보면, 여기서 굉장히 주의해야 합니다. 왜냐하면 같은 꼭짓점이 두 삼각형 내에서는 다른 역할을 할 수 있기 때문이죠. 닮음을 정확하게 파악하는 것이 중요합니다. 흰색 꼭짓점에서 점B 그리고 주황색 각까지 삼각형과 닮음이 되겠죠. 그럼 수직이 아닌 각은 무엇일까요? 여기 있는 더 작은 삼각형을 살펴보면 직각도 아니고 주황색 각도 아닌 각은 무엇일까요? 각B는 직각이고, 큰 삼각형을 생각해봤을 때, 아직 작은 삼각형은 살펴보지 않았습니다. 각B에서 시작해서 다른 직각으로 가보면 여기에서 직각은 각D가 되겠죠. 그 다음 주황색 각인 각C로 가보면, 그들이 닮음이라는 것을 알 수 있습니다. 이제 여기에서 두 삼각형이 합동이라는 것을 알았으니 각 변들 간의 비를 구할 수 있겠네요. 생각해봅시다. 우리는 변AC의 길이는 6더하기 2를 해서 8임을 알고 있습니다. 이 삼각형에서 변AC와 대응하는 변이 무엇인지 찾아보면 여기 A와 C가 B와 C와 대응한다는 것을 알 수 있습니다. 첫 번째와 세번째, 첫 번째와 세번째 변AC는 변BC와 대응한다는 뜻이죠. 매우 흥미로운데요, 이미 변BC를 구하고 있기 때문이죠. 이 큰 삼각형에서 변BC를 살펴보면 이 큰 삼각형에서 변BC를 살펴보면 변BC는 작은 삼각형에서 어느 변에 대응할까요? 변DC와 대응하겠네요. 매우 좋네요. 이미 AC와 DC를 알고있으니까요. 그럼 BC의 길이를 알 수 있겠네요. 저는 한 발 더 나가서 우리가 방금 한 것이 무엇인지 확실히 해야 해요. 왜냐하면BC는 두 가지의 역할을 하고 있기 때문이죠. 첫 번째 식에서, 우리는 변 BC가 작은 삼각형에서의 변BC가 큰 삼각형에서 변AC와 대응한다고 생각하죠. 두 번째 식에서는 큰 삼각형의 변BC가 작은 삼각형에서 변DC에 대응합니다. 따라서 위의 것들은 큰 삼각형에서 나온 것이고, 밑에 것들은 작은 삼각형에서 나온 것이네요. 각각 대응하는 변이고요. 아주 좋은 문제네요, 변BC가 두 삼각형에서 서로 다른 역할을 하기 때문이죠. 하지만 저희는 변BC의 길이를 구할 수 있는 충분한 정보가 있습니다. 변AC의 길이가 9임을 알고, 죄송해요, 변AC의 길이는 8이네요. 변AC가 8, 6더하기 2는 8이니까요, 주어진 것처럼 변DC의 길이는 2이고, 대각선으로 곱해보면 8곱하기2는 16, 16은 BC의 제곱과 같습니다. 따라서 변BC는 16의 양의 제곱근인 4가 되겠네요. 변BC는 4입니다. 이 문제에서 변BC가 두 역할을 한다는 사실을 깨닫는 것이 가장 어렵죠. 또 하나 주의해야 할 것은, 이 두 가지 역할 입니다. 확실히 하기 위해서 이 두 삼각형을 따로 그려보죠. 삼각형ABC를 따로 그려보면 이렇게 생기게 되겠네요. 이게 삼각형ABC고 이것은 직각, 여기는 주황색 각이 됩니다. 여기 이 변의 길이가 8인 것을 알고 있습니다. 그리고 이 변의 길이도 4임을 밝혀냈죠. 삼각형BCD를 그려보면 이렇게 생겼겠죠. 삼각형BCD이고, 이게 더 보기 쉽네요. 이게 직각이고, 이것은 주황색 각이고, 이 변의 길이는 4, 이 변은 2가 되겠네요. 제가 이렇게 그린 이유는 이 삼각형을 뒤집어서 회전시킴으로써 비슷한 방향에 놓기 위해서입니다. 이렇게 하면 더 쉽게 볼 수 있겠죠. 만약 이 부분이 헷갈리시다면, 삼각형BCD를 직접 뒤집어서 회전시켜보면 됩니다. 그러면 삼각형ABC와 비슷하게 보일 거에요. 그럼 왜 이 비율이 나왔는지 이해가 되실 겁니다.