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주요 내용

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수학에서 가장 유명한 이론 중 하나에 대해서 이야기 해 봅시다 그 이론은 바로 피타고라스의 정리입니다 이 정리는 직각삼각형과 관련이 있습니다 직각삼각형이란 90도를 끼고 있는 삼각형입니다 여기에 그렸듯이 이것이 바로 직각입니다 직각을 본 적이 없다면 이렇게 생각해 보세요 이 아랫변이 좌우로 수평이고 이 변은 위아래로 곧게 뻗어있습니다 이 두 변은 수직이에요 즉, 두 변 사이의 각도가 90도인 직각이라는 것이죠 피타고라스의 정리는 직각삼각형을 다룰 때 즉, 90도를 낀 삼각형을 다룰 때 변들 사이의 관계가 피타고라스의 정리와 같다는 것을 보여 줍니다 삼각형의 각 변을 a, b, c라고 합시다 삼각형에서 변 c는 90도 각도와 마주 보는 변이라는 것을 기억하세요 어떤 변이 어떤 것에 해당되는 지 아는 것이 중요해요 피타고라스의 정리에 따르면 이 삼각형이 직각삼각형이라면 a² + b² = c²가 됩니다 두 변의 길이를 안다면 이 공식을 활용해서 세 번째 변의 길이를 구할 수 있어요 여기서 용어를 하나 더 알려드릴게요 직각삼각형에서 가장 긴 이 변은 직각과 마주 보는 변인데 이 경우에는 변 c가 되죠 이 변을 직각삼각형의 빗변이라고 부릅니다 직각삼각형의 가장 긴 변 즉, 90도와 마주 보는 변은 직각삼각형의 빗변입니다 이제 피타고라스의 정리가 무엇인지 알았으니 실제로 적용해 봅시다 다음 직각삼각형이 있습니다 이 변은 길이가 9이고요 이 변은 길이가 7입니다 그렇다면 이 변의 길이는 어떻게 될까요? 이 변을 c라고 합시다 c는 빗변입니다 가장 긴 변이죠 다른 두 변의 제곱의 합은 c²과 같으므로 피타고라스의 정리에 의하면 9² + 7² = c²이 되겠네요 9² = 81이고 7² = 49죠 80 + 40 = 120이고 1 + 9 = 10이므로 81 + 49 = 130이 됩니다 좌변을 계산했더니 130이 되었으며 이는 c²과 같습니다 그러면 c는 무엇이 될까요? c² = 130이므로 c는 √130과 같다고 할 수 있겠죠 여기서 양의 제곱근만 구하는 이유는 c가 변의 길이이기 때문입니다 음의 제곱근은 사용할 수 없어요 √130을 좀 더 간단히 만들어 봅시다 130 = 65 × 2이고 65 = 5 × 13입니다 소수를 이용해 130을 간단히 만들었습니다 따라서 c는 √130이 됩니다 한 번 더 해 봅시다 여기 있는 피타고라스의 정리는 참고할 수 있도록 지우지 않을게요 이렇게 생긴 직각삼각형이 있다고 해 봅시다 여기가 직각이에요 이 변을 a라고 할게요 이 변의 길이는 21입니다 이 변의 길이는 35입니다 a를 구하기 위해 21² + 35² = a²이라고 생각할 수도 있지만 여기서는 35가 빗변이라는 것을 알아야 해요 35는 가장 긴 변이며 c에 해당하는 변입니다 피타고라스의 정리에 의하면 a²과 빗변이 아닌 변의 제곱을 더해주어야 합니다 그러므로 a² + 21² = 35²입니다 변 c는 항상 직각삼각형의 가장 긴 변입니다 직각과 마주 보는 변이죠 길이가 35인 변은 직각과 마주 보는 변입니다 그러므로 a² + 21² = 35²입니다 계산해 볼까요? 21²은 21 × 21이죠? 1 × 21 = 21이고 20 × 21 = 420이므로 21 × 21 = 441이 됩니다 35²을 계산해 봅시다 35 × 35 5 × 5 = 25이고 2를 올려 줍니다 5 × 3 = 15이고 15 + 2 = 17이 됩니다 그리고 0을 여기에 써 줍니다 3 × 5 = 15이고 1을 올려 줍니다 3 × 3 = 9이고 9 + 1 = 10입니다 이제 175 + 1050을 계산해 봅시다 5 + 0 = 5 7 + 5 = 12이고 1을 올려 줍니다 1 + 1 = 2이고 1을 내려주면 1225가 되죠 따라서 a² + 441은 35²이며 이는 1225와 같습니다 이 식의 각 변에서 441을 빼 줍시다 좌변에는 a²만 남네요 우변을 계산하면 어떻게 될까요? 5 - 1 = 4죠 좀 더 깔끔하게 써 보겠습니다 1225 - 441 좌변은 441이 소거되어 a²이 남겠죠? 그리고 우변은 어떻게 계산해야 할까요? 십의 자리 2가 4보다 작으므로 빌려와야겠죠 그러면 십의 자리는 12가 되고 백의 자리는 1이 되겠네요 백의 자리 1은 4보다 작으므로 한 번 더 빌려옵니다 그러면 백의 자리는 11이 되겠죠 5 - 1 = 4 12 - 4 = 8 11 - 4 = 7 따라서 a² = 784입니다 그러면 a는 √784와 같겠죠 이번에도 계산기를 사용하지 않고 계산해 봅시다 784 = 2 × 392입니다 390 × 2는 780이므로 392 × 2는 784가 맞겠죠 그리고 390 = 2 × 196입니다 196 = 2 × 98입니다 계속 내려가 보겠습니다 98 = 2 × 49죠 인수분해한 것을 보면 2가 4번 곱해졌으므로 2⁴ = 16이 되죠 따라서 a는 √(16 × 49)와 같습니다 두 수는 모두 완전제곱수죠? √16은 4이고 √49는 7이므로 4 × 7 = 28이 됩니다 피타고라스의 정리에 의해 이 변의 길이는 28이 됩니다 하나 더 해 볼까요? 삼각형을 그려 볼게요 여기가 직각이고 이 변은 24입니다 이 변은 12이고 이 변을 b라고 합시다 빗변은 가장 길고 직각과 마주 보는 변이므로 길이가 24인 변이 빗변이 되겠네요 이 변이 가장 긴 변인지 아직 모르지만 90도와 마주 보는 변이기 때문에 빗변이 되는 거예요 그러므로 이 변이 빗변이 됩니다 그러면 b²과 12²의 합은 24²과 같겠네요 피타고라스의 정리에 의해서 b² + 12² = 24²입니다 양변에서 12²을 빼 봅시다 b² = 24² - 12² 이때 12²은 144죠 그러므로 b는 √(24² - 12²)입니다 계산기를 사용해서 계산해 봅시다 √(24² - 12²)은 24.78이네요 제곱근 안의 식은 계산하면 얼마일까요? 24² - 12² = 432죠 그러므로 b = √432가 됩니다 이를 다시 소인수분해해서 간단하게 써 봅시다 432 = 2 × 216 216은 제곱근 같네요 계산기로 알아볼까요? 제곱근이 아니므로 216을 다시 소인수분해 합시다 216 = 2 × 108이죠 108 = 4 × 27이고 27 = 9 × 3입니다 인수분해한 것을 보면 2 × 2 × 4 = 16이고 16 × 9 × 3이네요 계산기로 계산해보면 16 × 9 × 3 = 432입니다 따라서 b는 √(16 × 9 × 3)과 같습니다 √16 = 4이고 √9 = 3이므로 b = 4 × 3 × √3이며 이는 12√3과 같습니다 따라서 b는 12√3입니다