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함수의 이동과 대칭

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. 따라서 이 붉은 곡선은 x에 대한 함수 f입니다 푸른 곡선은 x에 대한 함수 g이고요 저는 g(x)를 f(x)에 대한 식으로 표현하고 싶네요 어떤 관계가 있는지 알아봅시다 아무 x를 골라보죠 f(x)의 꼭짓점에서 시작해 봅시다 우리는 g(x)가 이 점으로부터 1 크다는 것을 알 수 있습니다 그려면 g(2)는 f(2)+1이 되겠군요 모든 x에 대해 이 사실이 성립하는지 봅시다 또 다른 x를 잡아 보죠 f(4)는 여기입니다 g(4)는 그보다 1 크군요 f(6)은 여기입니다 g(6)은 역시 1 크군요 어느 점을 잡던지 약간 착시가 있긴 해도 점점 가까워지네요 가장 가까운 거리는 실제로 점점 가까워집니다 하지만 수직 거리를 보면 항상 1 차이가 나는 걸 볼 수 있죠 이걸 일반화해 봅시다 모든 x에 대해 g(x) = f(x) + 1입니다 좀 다른 예를 살펴보죠 여기를 보면 f(x)는 붉은 선이고 이건 g(x)입니다 x = -4를 보면 이게 f(-4)이고 g(-4)는 2만큼 작네요 x가 어떤 값이든 f(x)보다 g(x)가 항상 2만큼 작네요 f(x)보다 g(x)가 항상 2만큼 작네요 아까의 예시와 유사하게 하면 g(x)는 f(x)에다가 아까는 1을 더했지만 이번에는 2를 뺍니다 더 다른 예시를 보죠 f(x)가 여기 붉은 색으로 표시되어 있습니다 적어 놓죠 f(x) 여기 g(x)가 있습니다 좀 생각해 보죠 임의의 점을 선택해 보죠 붉은색 그래프의 이 점을 선택해 보죠 f(-3)입니다 f(-3)입니다 좌표로 표현하면 (-3, f(-3))입니다 g는 x가 -1일 때 같은 함숫값을 가집니다 이거에 대해 생각해 봅시다 g(-1)은 f(-3)과 같습니다 다른 점에 대해서도 똑같이 하면 여기 있는 g(0)이 여기 있는 g(0)이 f(-2)와 같군요 이걸 적어 놓읍시다 g(0) = f(-2)입니다 계속 해 보죠 여기 있는 g(1)은 여기가 1이군요 g(1)은 f(-1)과 같습니다 g(1)은 f(-1)과 같습니다 여기서 패턴을 확인해 봅시다 어떤 값의 g는 그 값에서 2를 뺸 만큼의 f와 같군요 어떤 값의 g는 그 값에서 2를 뺸 만큼의 f와 같군요 그러면 g(x)는 x보다 2만큼 작아야 하니까 f(x-2)가 되겠군요 이것이 이 그래프의 관계입니다 g(x) = f(x-2)입니다 여기서 중요한 점은 f(x-2)를 계산할 때 f에 x-2를 대입하는 것이죠 즉 x 대신 x-2를 넣는다는 것은 그래프를 오른쪽으로 이동하는 겁니다 이게 직관과는 조금 다르지만 말이죠 다시 한번 말하면 g(x) = f(x-2)입니다 만약 이게 f(x+2)였다면 그래프는 왼쪽으로 이동했겠죠 이제 이 그림을 봅시다 약간 이상해 보이죠 g(x)는 f(x)를 뒤집은 것처럼 보이지만 자세히 보면 조금 더 납작합니다 그럼 이렇게 생각해 보죠 g(x)를 뒤집어 봅시다 최대한 잘 그려 보죠 최대한 잘 그려 보죠 이 점은 2가 되겠고 여기는 거의 1이 되겠고 이 쯤에 점이 찍히겠으니 이것의 거울상을 그리면 이런 식의 그래프가 나오겠군요 새로 그린 그래프를 식으로 표현하려면 이게 g(x)니까 이걸 뒤집으면 -g(x)가 됩니다 x=4일 때에는 g(x)가 대략 -3과 1/2이 되겠군요 이것의 음수값을 취하면 양수가 되겠죠 이 쯤 되겠군요 이 그래프를 뒤집으면 3과 1/2를 얻을 수 있네요 이게 -g(x)입니다 그래도 아직 f(x)가 되진 않았네요 모든 점에 대해 3배씩 하면 f(x)가 될 것 같아요 이걸 봅시다 지금은 2지만 6이 되어야 하고요 지금은 1이지만 3이 되어야 합니다 그러면 빨간 그래프가 되려면 이 그래프를 세 배 하면 되겠군요 그러면 이건 3 * -g(x)가 됩니다 다시 말하면 -3g(x)이죠 따라서 f(x) = -3g(x) 라는 결론이 나옵니다 이걸 g(x)에 대해 표현하려면 이 식의 양변을 -3으로 나누면 g(x)는 -1/3 f(x)과 같군요