미지수에 대한 추론

면접장에 갔다고 한번 상상해 보세요 면접관이 당신에게 말하기를, "당신은 굉장한 경력을 가지고 있고 보기에도 좋은 사람 같지만 제가 정말로 중요시하는 것은 당신의 논리적 추론 능력이에요" "그러니 제가 당신에게 수학적인 표현에 관한 질문을 할게요" 그리고 당신이 "좋아요. 질문을 주시죠" 라고 하는 거죠 면접관이 말하기를, "여기 정수 a와 정수 b가 있어요" "정수 a는 0보다 크고 정수 b는 0보다 작아요" "그리고 b 분의 a는, a 곱하기 b보다 커요" "a와 b, b 분의 a, 그리고 a 곱하기 b에 대해 추론해보세요" 당신이 대답합니다 "알겠어요. 최선을 다해보죠" 저는 여러분이 영상을 잠시 멈추고, 이것들이 서로 어떻게 연관되어있을지 a와 b는 각각 어떤 조건 속에 있는지 생각해본 후, 재생하길 바라요 여러분들이 생각해봤다고 생각하고 진행할게요 첫 번째로 우리는 a가 양수이고 b가 음수인 걸 알 수 있어요 만약 양수를 음수로 나눈다면 어찌 될까요? 바로 여기 양수 나누기 음수는 음수가 되겠네요 양수 곱하기 음수는 어떻게 될까요? a 곱하기 b도 음수가 되겠네요 양수 곱하기 음수도 음수가 되죠 지금 우리는 두 음수를 가지고 있고 여기 b 분의 a가, a 곱하기 b보다 크다고 말할 수 있죠 이것을 수직선에 나타내어 봅시다 직선을 이렇게 그려서 여기엔 0을 써넣고 이쪽은 양의 방향, 이쪽은 음의 방향 우리는 두 수 모두 음수이고 b 분의 a가 더 크다는 것을 알고 있죠 그래서 b 분의 a는, a 곱하기 b보다 오른쪽에 있겠네요 우리는 지금 b 분의 a가 음수라는 것과 0보다 왼쪽에 있어야 한다는 것을 알고 있어요 b 분의 a는, a 곱하기 b의 오른쪽에 있겠죠 두 수 모두 음수이지만 b 분의 a가 더 적게 음의 방향에 있다고 할 수 있고 바꿔 말하자면, a 곱하기 b보다 작은 절대값을 가지고 있다고 할 수 있겠네요 0으로부터의 거리는 절대값을 측정하는 방법들 중 하나에요 b 분의 a와, 0과의 거리는 a 곱하기 b와, 0과의 거리보다 짧네요 두 수 모두 음수이기 때문에 0과의 거리를 염두에 두고 생각해보면 0과의 거리가 짧은 쪽이 덜 음수니깐 더 큰 수가 되겠네요 크게 감명받은 면접관이 말합니다 "좋아요. 꽤 잘했어요 약간의 정보만으로 많은 추론을 해내었어요 그런데 b가 되어야 하는 것 즉, b의 필수조건을 찾아낼 수 있겠어요?" 당신이 대답합니다 "당연하죠. 여기 약간의 힌트가 있네요" 여기 b 분의 a의 절대값이 a 곱하기 b의 절대값보다 작으니까 b 분의 a의 절대값이, a 곱하기 b의 절대값보다 작다고 할 수 있죠 다시 말하자면, b 분의 a가, a 곱하기 b보다 0에 가까우니까 이렇게 부등식을 쓸 수 있죠 이제 이 부등식을 대수적으로 변형해보죠 부등식의 양변에 b를 곱할 수 있어요 이렇게 양변에 b를 곱해볼게요 b가 0보다 작으므로 부등식의 양변에 0보다 작은 수를 곱할 경우 부등호의 방향이 바뀌니까 다시 써볼게요 b 곱하기 b 분의 a는 (음수를 곱해줬으니까) a 곱하기 b 곱하기 b보다 작다 b를 서로 약분하면, a는, a 곱하기 b의 제곱보다 작다는 부등식이 남죠 간단히 하기 위해서 양변을 a로 나눕시다 a는 0보다 큰 수니까 부등호의 방향을 바꿀 필요는 없고요 이렇게 양변을 a로 나누어 주면 좌 변은 1이 되고, 우 변은 b의 제곱이 되겠네요 1은 b의 제곱보다 작다는 부등식이 남았어요 아니면 이렇게도 생각할 수 있어요 1이 b의 제곱보다 작다면 b의 절대값이 1보다 크다라고 할 수 있어요 b의 절대값은 1보다 크다고 적을 수 있죠 어떻게 여기서 거기로 갔느냐고 물어보신다면 잠시 생각해보세요 b를 제곱했고, b의 제곱이 1보다 크다면 b가 -1보다 작거나, 왜냐하면 b가 -1이었다면 제곱했을 때 1이 되고 b가 -1보다 크다면 한마디로 b가 -1보다 큰 음수라면 예를 들어 b가 -0.99라고 한다면 제곱한다면 1보다 작은 수가 되겠죠 말이 안 되죠 그러니 b는 -1보다 작거나, 1보다 큰 수이어야 합니다 b가 1보다 큰 이유도 마찬가지예요 만약 b가 1이었다면, 제곱했을 때 1이 되겠죠 b가 0.5였다면, b의 제곱은 0.25가 되어 1보다 크지 않을 거예요 이 두 식이 모두 참이란 것을 알았고 이것이, b의 절대값이 1보다 크다는 식의 다른 표현이에요 그런데 우리는 b가 0보다 작다는 조건이 있었으니 b가 0보다 작으니까 이것을 지워버립시다 b의 절대값이 1보다 크고 b가 0보다 작으니 b는 -1보다 작은 수가 되어야겠네요 즉, -1이 어디에 있든지, b는 그보다 왼쪽에 있겠죠 면접관이 상당히 감명받아서 "정말 좋은 추론이었어요 면접 합격입니다" 라고 하겠네요