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유리함수 그래프 그리기 1

동영상 대본

여기 f(x)의 그래프가 있습니다 이 영상에서는 이 함수의 식만 보고 그래프를 그리는 법에 대해서 다루겠습니다 이런 유리식으로 정의된 함수의 경우에 말입니다 이 경우에는 5x-15 분의 2x+10입니다 그래프를 그리는 데에는 몇 가지 방법이 있습니다 첫 번째 방법은 계산하기 쉬운 숫자를 대입하는 것입니다 예를 들어, x=0이면 어떻게 될까요? f(0)는 모든 x항이 0이 될테니 -10/15이 되고 따라서 -2/3가 됩니다 이 점을 좌표평면에 표시합시다 x=0일 때 f(x), 그러니까 y의 값은 -2/3입니다 그러면 이 점을 어두운 색깔로 표시하면 됩니다 이번에는 함숫값이 0이 되는 x 값을 구해 봅시다 함숫값이 0이 되려면 분자가 0이 되어야 합니다 2x+10=0을 풀면 됩니다 양변에서 10을 빼면 2x = -10이 되고 양변을 2로 나누면 x=-5입니다 이 점은 여기입니다 x가 -5일 때, 함수는 x축과 만납니다 두 점을 찾았지만 아직 이런 흥미로운 모양의 그래프를 그리기에는 부족합니다 또 이런 모양의 그래프를 갖는 함수가 뭐가 있는지 생각해 보세요 이제 다른 점들에서는 함숫값이 어떻게 변하는지 알아봅시다 가장 먼저 이 함수가 정의되지 않을 때 그 부근에서 함숫값들은 어떻게 변할까요? 이 함수가 정의되지 않는 범위는 분모가 0이 되는 범위입니다 0으로 나누는 것은 정의되지 않으니까요 함수는 5x-15가 0일 때 정의되지 않습니다 양변에 15를 더하면 5x=15가 되고 양변을 5로 나누면 x=3일 때 f는 정의되지 않습니다 함수값이 정의되지 않을 때 그래프는 여러 가지 형태를 띱니다 먼저 좌표축을 그리겠습니다 여기가 3입니다 먼저 이런 형태가 있습니다 x가 3으로 갈 때 어떤 값으로 다가가지만 3에서는 정의되지 않고 3을 지나서는 그대로 쭉 가는 형태입니다 한편 여기서 수직 점근선을 가지는 형태도 있습니다 수직 점근선을 가지면 그래프의 모양은 이렇게 됩니다 이 부근에서 무한대로 발산하고 이쪽에서는 무한대에서 다시 내려오거나 음의 무한대에서 올라옵니다 수직 점근선을 가지면 그래프는 이런 형태가 됩니다 왼쪽에서 접근할 때 그래프의 기울기는 수직에 가까워지면서 절대로 x=3에 도달하지는 않습니다 함수는 x=3에서 정의되지 않으니까요 오른쪽에서 접근할 때도 마찬가지로 이 경우에는 함숫값이 급격히 감소하면서 수직에 가까워지고 x가 양의 방향에서 3에 가까워질 때 함숫값은 음의 무한대로 발산합니다 명백히 이 그래프를 보면 여기가 x=10이고 1,2,3,4,5니까 여기가 2쯤 되고 x=3이 여기입니다 그래프를 보면 이 직선은 분명히 수직 점근선입니다 그래프만 보면 x=3에서 수직 점근선을 가진다는 것을 알 수 있습니다 여기에 쓰겠습니다 수직 점근선은 x=3입니다 하지만 그래프가 없다면 이 정보만 가지고 x=3에서 정의되지 않는다는 것은 알 수 있지만 점 불연속이 아니라 수직 점근선이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요? 이것을 알아내는 몇 가지 방법이 있습니다 한 가지 방법은 3 주변에서 값들을 대입하는 것입니다 예를 들어 계산기에 3.01을 대입해 보겠습니다 2 곱하기 3.01 더하기 10 이게 분자고 분자를 5 곱하기 3.01 빼기 15로 나눕니다 그러면 꽤 큰 숫자가 됩니다 3에 다가갈수록 폭발적으로 증가한다는 것을 추측할 수 있습니다 이번에는 2 곱하기 3.001 더하기 10을 5 곱하기 3.001 -- x가 3.001인 경우를 계산해 봅시다 빼기 15로 나누면 훨씬 더 숫자가 커졌습니다 x가 3에 다가갈수록 f(x)는 양의 무한대로 폭발적으로 발산합니다 그래서 이쪽에서는 이 함수가 양의 무한대로 접근한다는 것을 알 수 있고 이런 식으로 그래프를 그릴 수 있습니다 이번에는 3보다 작은 쪽을 해 봅시다 그냥 저번 입력값을 복사하겠습니다 3.001을 2.999로 바꾸면 여기도 2.999로 바꾸면 절댓값이 아주 큰 음수가 됩니다 음의 무한대로 접근한다는 것을 알 수 있습니다 이 값으로부터 그래프가 여기서는 이런 식으로 생겼다는 것을 알 수 있습니다 이런 모양은 앞에서 구한 이 두 점과도 연결됩니다 이제 x가 아주 큰 수일 때나 아주 작은 수일 때 어떻게 되는지 봅시다 그래프를 보면 여기 수평 점근선이 있는 것 같습니다 그래프를 보면 x가 아주 큰 값이 되면 함숫값이 어떤 값, 즉 점근선의 y값에 위에서부터 접근합니다 x가 음의 무한대로 가면 함숫값은 그 값에 아래서부터 접근합니다 하지만 이 식만 보고 그 사실을 어떻게 알 수 있을까요? 사고실험을 통해 x가 무한히 커지면 이 함수가 어떻게 되는지 살펴봅시다 여기에 쓰겠습니다 x가 무한히 커지면 f(x)는 어떤 값으로 수렴할까요? x가 점점 커질수록 +10과 -15는 거의 없는 것과 마찬가지입니다 분자와 분모의 최고차항의 영향이 훨씬 커지니까요 그래서 x가 무한히 커지면 f(x)는 2x/5x에 가까워지고 이 값은 2/5입니다 그래서 f(x)가 2/5에 가까워진다고 말할 수 있습니다 좀 더 구체적으로 확인하고 싶다면 여러 가지 큰 x값들을 대입해 봅시다 여기에 x와 f(x) 표를 그리고 x가 1일 때 f(x)는 2+10 나누기 5-15입니다 여기서는 10과 -15가 큰 역할을 합니다 하지만 x가 1000이 되면 f(x)는 2000+10 나누기 5000-15입니다 이제는 함숫값이 거의 2000과 5000에 의해서만 결정됩니다 x가 1000000이 되면 강조하기 위해 파란색으로 쓰겠습니다 f(x)는 2000000+10 나누기 5000000-15이 됩니다 여기서 10과 15는 거의 영향을 주지 않습니다 x가 10억, 1조, 그리고 더 커질수록 10과 15의 영향은 훨씬 더 작아집니다 x가 무한히 커지면 이 항들은 중요하지 않고 최고차항만이 중요해집니다 따라서 f(x)는 2x/5x에 수렴하고 그 값은 2/5입니다 f(x)는 2/5에 수렴합니다 그 직선이 바로 이 직선입니다 2/5는 0.4입니다 그래프에서 f(x)가 이 값에 한없이 가까워지지만 그 값이 되지는 않는다는 사실을 확인할 수 있습니다 x가 무한대로 갈수록 점점 가까워지지만 정확히 그 값이 되지는 않습니다 10과 -15 때문에 정확히 2/5가 될 수는 없습니다 x가 음의 무한대로 갈 때도 마찬가지입니다 이 값이 음수가 되면 -1일 때 -2, -5이 되고 -1000이면 -2000,-5000이 되며 -1000000이면 -2000000과 -5000000이 됩니다 이 경우에도 f(x)는 2x/5x에 가까워집니다 이 값은 2/5입니다 -2/-5에 가까워진다고 생각할 수도 있습니다 어쨌든 결국 2/5입니다 그래프에서 이 결과를 확인할 수 있습니다 그래서 이 함수가 수평 점근선을 가진다는 것을 알 수 있습니다 수평 점근선은 이 직선, y=2/5입니다 이 그래프로부터 수직 점근선과 수평 점근선을 쉽게 찾을 수 있습니다 하지만 그래프가 없더라도 함수가 정의되지 않은 x=3 주위의 값을 대입해 보고 왼쪽에서 접근할 때는 음의 무한 오른쪽에서 접근할 때는 양의 무한으로 발산함을 알 수 있습니다 그래서 이렇게 파란색으로 표시할 수 있고 f(x)=0일 때와 x=0일 때의 두 점을 찾을 수 있습니다 그 다음에는 x가 무한으로 갈 때와 음의 무한으로 갈 때 함숫값이 어떻게 되는지 생각해서 수평 점근선을 그릴 수 있습니다 이 모든 작업을 통해 그래프를 이렇게 그릴 수 있습니다