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유리함수 그래프: 수직점근선

동영상 대본

f(x)=g(x)/(x^2-x-6) g(x)는 다항식입니다 y=f(x)에 알맞은 그래프를 고르시오 4개의 정답지가 있습니다 4번째 보기는 화면에 다 잡히지 못했네요 잠시 동영상을 멈추고 문제를 풀어보세요 만약 잘 풀리지 않는다면 제가 여러분과 함께 풀어드리겠습니다 아이디어가 떠오른다면 언제든지 영상을 멈추셔도 됩니다 그냥 제가 하는 것을 보는 것 보다 직접 풀기 위해 노력하는 것은 매우 중요한 과정입니다 이제 시작하겠습니다 흥미롭네요 f(x)에 대한 정보가 많지 않습니다 사실, 분자가 무엇인지도 모릅니다 다항식이라는 것만 알고있습니다 출제자 나름의 의미가 있을 겁니다 하지만 분모는 주어졌으므로 분모를 통해 유추할 수 있는 그래프의 개형에 영향을 주는 x 값을 생각해보도록 하겠습니다 특히, 어떤 x 값이 분모를 0으로 만들까요? 분모를 인수분해 해야지 알 수 있습니다 일차항의 계수가 중요한데요 -1 입니다 생략된 1을 표기해줘도 됩니다 상수항은 -6입니다 인수분해를 하기 위해 어떤 두 수를 곱하면 -6이 되고 더하면 -1이 될지 알아야 합니다 -3과 2를 곱하면 -6이 되고 더하면 -1이 됩니다 따라서 f(x)를 다시 쓰면 f(x)= g(x)/(x-3)(x-2) 따라서 분모는 x=3 또는 -2 일 때 0이 됩니다 분모가 0이 되는 x값들입니다 이 때 분모가 0입니다 어떤 값에서 분모가 0이 되면 그 값에서 수직점근선을 가진다는 것을 의미합니다 다르게 말하면 없앨 수 없는 불연속성을 가집니다 다시 한번 없앨 수 없는 불연속성을 가진다는 것은 x=3에서 없앨 수 없는 불연속성을 가진다면 g(x)는 x-3 와 어떤 식의 곱으로 인수분해 되어집니다 그런 경우에는 x-3 가 없앨 수 없는 불연속성을 가지게 만듭니다 만약 g(x)가 x=3에서 0이 되지 않는다면 예를 들어, g(3)이 0이 아니거나 g(-2)가 0이 아니라면 두 x값 모두가 수직 점근선이 됩니다 정답지들을 보면 A번에는 하나의 수직점근선이 있습니다 x=-2 일 때요 표시해 드리겠습니다 수직점근선은 파란 실선으로 표시한 x=-2 이 부분에서는 문제와 일치합니다 그럼 x=3일 때는 어떨까요? 명확하게 보여집니다 이 그래프는 x=3일 때 정의됩니다 x=3 의 함숫값이 정의되어 있습니다 f(x)는 x=3에서 명백히 정의되지 않습니다 왜냐하면 x=3에서 분모가 0이 되기 때문입니다 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다 따라서 이 그래프가 다른 x값에서 알맞은 수직점근선을 가진다고 할지라도 정답이 아닙니다 왜냐하면 x=3에서 그래프가 정의되지만 f(x)는 정의되지 않기 때문입니다 수직 점근선이 올바르게 있는지 없앨 수 없는 불연속성이 있는지를 확인해야 합니다 B번은 x=2에서 수직점근선을 가집니다 x=4 에서도요 따라서 정답이 아닙니다 이전 보기와 마찬가지로 x=3에서 정의되기 때문입니다 x=3에서 그래프의 함숫값이 0입니다 하지만 f(3)은 0이 아닙니다 f(3)은 정의되지 않습니다 0으로 나누기 때문입니다 따라서 정답이 아닙니다 다시 한번, x=3에서 없앨 수 없는 불연속성 또는 수직 점근선이 있어야 합니다 정의되지 않는 지점이기 때문입니다 C번을 봅시다 x=-2에서 수직 점근선이 있고 좋아요 x=3에서 없앨 수 없는 불연속성이 있습니다 따라서 이 그래프는 x=3과 x=-2에서 정의되지 않습니다 잘 맞아떨어지네요 왜냐하면 f(x) 역시 두 x값에서 정의되지 않기 때문입니다 분모가 0이 되기 때문입니다 주어진 식과 알맞은 보기입니다 f(x)의 한 종류로 가능한 올바른 보기입니다 그래서 분모는 이미 알고 있는대로 (x-3)(x+2) 분자는 x=3이 수직점근선이 아니기 때문에 없앨 수 있는 불연속입니다 g(x)를 인수분해하면 (x-3)과 어떤 식의 곱의 형태로 표현됩니다 그래프에 주어진 것과 올바른 식입니다 C번이 정답입니다 D번을 봅시다 두 개의 수직 점근선이 있습니다 한 눈금의 크기가 2이므로 수직점근선은 x=-1 와 x=6 입니다 둘 모두 f(x)의 분모를 0으로 만들지 못합니다 따라서 정답이 아닙니다 정답은 C번 입니다