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점근선에 따라 유리함수 그래프 그리기

동영상 대본

6x²-54 분의 3x²-18x-81과 같은 값의 함수 f(x)가 있습니다 이제부터 제가 하고 싶은 것은 방정식의 수평 점근선과 수직 점근선을 찾는 것이죠 본격적으로 시작하기 전에 지금 동영상 재생을 멈추시고 스스로 풀어보는 것을 시도해보시기를 바랍니다 다 푸셨나요? 그럼 이제 각각을 생각해보도록 하죠 점근선이 최소 한 개라도 존재한다고 생각하고 먼저 수평 점근선에 대해 생각해봅시다 수명 점근선은 절댓값 x가 무한으로 도달할 때 f(x)가 가까워지는 수평선입니다. 같은 의미로 x가 양의 무한으로 도달할 때나 x가 음의 무한으로 도달할 때 f(x)가 가까워지는 수평선이라고도 할 수 있죠 두 가지 모두 생각 가능한 방법입니다. 그럼 f(x)의 정의를 한 번 더 써보도록 하죠 6x²-54 분의 3x²-18x-81 입니다 이제 두 가지 방법이 있습니다. 하나라도 좋습니다 절댓값 x가 점점 더 커지고 커짐에 따라 분자와 분모의 가장 높은 차수 항이 지배적으로 작용하게 됩니다 가장 높은 차수 항은 뭘까요? 분자는 3x²를 가지고 있고 분모는 6x²을 가지고 있습니다 절댓값 x가 무한으로 가게 되면 절댓값 x가 무한으로 가게 되면 언급한 두 항이 지배적으로 작용하겠죠 f(x)는 점점 6x²분의 3x²에 가까워집니다 f(x)는 점점 6x²분의 3x²에 가까워집니다 나머지 항들은 그다지 영향이 없어지는 것이죠 분명히 -54는 절대 커지지 못하고 -18x도 3x²에 비하면 매우 느리게 커질 것입니다 결국 가장 큰 차수 항만이 지배적인 영향을 끼치게 되는 것이죠 저 두 항들만 본다면 f(x)가 3/6나 1/2에 점점 가까워 질 것이라고 f(x)가 3/6나 1/2에 점점 가까워 질 것이라고 간단하게 생각할 수 있게 됩니다 수평 점근선은 y=1/2라고 할 수 있는 것이죠 수평 점근선은 y=1/2라고 할 수 있는 것이죠 다른 방법으로 생각해보죠 만약 두 항이 지배적으로 작용한다는 것이 혼돈스럽다면 만약 두 항이 지배적으로 작용한다는 것이 혼돈스럽다면 분자와 분모를 가장 큰 차수의 항으로 나누거나 가장 큰 차수의 x로 나누는 것이죠 가장 큰 차수의 x로 나누는 것이죠 분자의 가장 높은 차수 항인 x²으로 분자와 분모를 나눠보도록 하죠 분자뿐 아니라 분모에서도 가장 높은 차수의 항은 x²이라는 것도 언급해야겠네요 이제 진짜 분자와 분모를 나눠보도록 합시다 이제 진짜 분자와 분모를 나눠보도록 합시다 분자와 분모에 1/ x²를 곱합니다 분자와 분모에 1/ x²를 곱합니다 그렇다고 전체의 크기는 변하지 않는 것을 아셔야합니다 그저 0이 아닌 x로 된 1/ x²로 분자와 분모를 동시에 곱한 것이죠 둘 다 끝났고 분자를 보시면 3x²이 x²으로 나뉘어져 분자를 보시면 3x²이 x²으로 나뉘어져 3 - 18/x - 81/x²이 됩니다 그리고 분모에서는 6x²이 x²으로 나뉘어져 그리고 분모에서는 6x²이 x²으로 나뉘어져 6 - 54/x가 되는 것을 알 수 있죠 무슨 일이 일어난걸까요? 이 항들에 대해 생각해보면 어떤 것이 무한에 근접할 것을 알 수 있습니다 어떤 것이 무한에 근접할 것을 알 수 있습니다 x가 무한에 근접한다면 x가 무한에 근접한다면 어떤 일이 일어날까요? 이들 모두 0에 가까워질 것이고 결국은 3/6이나 1/2가 됩니다 만약 x가 음의 무한에 가까워진다면 어떨까요? 마찬가지입니다 역시 이들 모두 0에 가까워지게 되고 1/2에 도달하게 됩니다 y=1/2가 수평 점근선인 것이죠 y=1/2가 수평 점근선인 것이죠 이제 수직 점근선에 대해 생각해봅시다 여기에 써보도록 하죠 여기에 써보도록 하죠 수직 점근선 또는 점근선은 아마 1개 이상 존재할 것입니다 여러분은 이렇게 생각하기 쉬울 겁니다 "좋아, 정의되지 않는 유리식인 분모가 0이 될 때 수직 점근선이 될 거야" "좋아, 정의되지 않는 유리식인 분모가 0이 될 때 수직 점근선이 될 거야" 라고 말이죠 그렇지만 이러한 경우에서는 정확하지 못한 방법입니다 그저 분모를 0으로 만든다고 수직 점근선이 되는 것은 아닙니다 분명이 이 영역은 함수가 정의되지 않을 것 입니다 분명이 이 영역은 함수가 정의되지 않을 것 입니다 그러나 수직 점근선이 될 수는 없죠 분모에 대해 생각해봅시다 아마 인수분해가 가능할 것입니다 분자와 분모 모두 인수분해 할 것 입니다 분자와 분모 모두 인수분해 할 것 입니다 새로운 f(x)를 적어보면 분자는 분명히 3의 배수일 것입니다 분자의 세 항만 뽑아 써봅시다 3x²-18x-81는 3(x²-6x-27)이 될 것입니다 3x²-18x-81는 3(x²-6x-27)이 될 것입니다 마찬가지로 분모도 6으로 나뉘어집니다 마찬가지로 분모도 6으로 나뉘어집니다 6(x²-9)가 되고 분자와 분모가 인수분해가 가능한지 보죠 분자와 분모가 인수분해가 가능한지 보죠 인수분해를 시작해보자면 두 수의 곱이 -27이 되고 합은 6이 됩니다 아마 두 수는 -9와 3 같습니다 인수분해 결과 3(x-9)(x-3)에 인수분해된 분모를 나눕니다 분모를 인수분해하면 6(x-3)(x+3)이 됩니다 언제 분모가 0이 될까요? x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다 x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다 x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다 잠시 동영상을 멈춰보고 두 개의 수직 점근선에 대해 생각해봅시다 아마 x가 -3이 될 때 분자 또한 0이 되는 것을 깨달으셨을 겁니다 이들을 더욱 간단하게 하면 수직 점근선의 위치가 좀 더 깔끔해질 겁니다 f(x)에 대해 말해보자면 분자와 분모 모두 (x+3)로 나뉩니다 분자와 분모 모두 (x+3)로 나뉩니다 여기서 핵심은 동일한 함수를 얻고 싶다면 특정 절차를 거쳐야 한다는 것입니다 x가 -3일 때 함수가 정의되지 않는다는 것을 확인하는 것이죠 그러면 0으로 나누어야한다는 것을 알 수 있습니다 그렇지만 우리는 더욱 간단하게 표현 가능하다는 것을 기억해야합니다 그렇지만 우리는 더욱 간단하게 표현 가능하다는 것을 기억해야합니다 (x+3)로 분자와 분모를 나눈다면 정확히 같은 함수가 될 것 입니다 정확히 같은 함수가 될 것 입니다 이는 6(x-3)분의 3(x-9)이 될 것입니다 더이상 x는 -3을 해로 가지지 않죠 알아야할 것은 이건 원래 함수와 동일하다는 것입니다 알아야할 것은 이건 원래 함수와 동일하다는 것입니다 x가 -3이 아니라는 수식어를 붙이는 이유는 x가 -3이 아니라는 수식어를 붙이는 이유는 원래 함수가 x는 -3에서 정의되지 않기 때문이죠 원래 함수가 x는 -3에서 정의되지 않기 때문이죠 (x+3)을 분자와 분모에서 제거하면 (x+3)을 분자와 분모에서 제거하면 x=-3은 더 이상 원래 함수의 영역이 아닙니다 x=-3은 더 이상 원래 함수의 영역이 아닙니다 기억해야할 것은 만약 이 함수를 그대로 적는다면 그건 같은 함수가 아닙니다 x=-3에서 정의되지 않는다는 수식어가 없기 때문입니다 x=-3에서 정의되지 않는다는 수식어가 없기 때문입니다 그치만 우린 똑같은 함수를 원하므로 이 점에서는 불연속일 것입니다 이 점에서는 불연속일 것입니다 이젠 수직 점근선에 대해 생각해볼 수 있습니다 수직 점근선은 분모를 0으로 만들지만 분자는 0으로 만들지 않을 것입니다 분자는 0으로 만들지 않을 것입니다 x=-3은 분자와 분모를 0으로 만드므로 수직 점근선이 아니게 됩니다 초록색으로 적어보면 우리가 찾는 수직 점근선은 x=+3 이 됩니다 이는 분모를 0으로 만들지만 분자는 그렇지 못하죠 즉, 수직 점근선은 x=+3 입니다 얻어낸 이 두 점을 통해 얻어낸 이 두 점을 통해 그래프를 그릴 수 있습니다 이는 점근선 근처의 구성에 대해 이는 점근선 근처의 구성에 대해 충분한 정보는 아닙니다 그치만 두 점근선이 있으므로 그치만 두 점근선이 있으므로 재미를 위해 해보도록 하죠 그저 그래프를 완성해보도록 하죠 함수를 이렇게 생길 것입니다 정확한 크기는 아니지만 1과 1/2은 여기가 되겠죠 y=1/2는 수평 점근선이 됩니다 y=1/2는 수평 점근선이 됩니다 수직 점근선을 그려보면 x=+3이 될 것입니다 크기를 대충 재보면 파란색으로 표시하겠습니다 정확한 크기는 아니지만 x축과 y축 눈금이 다르지만 이런식으로 수직 점근선을 그릴 수 있습니다 이렇게 그리면 정확한 함수는 모르지만 이렇게 그리면 정확한 함수는 모르지만 아마 이런 식으로 생겼을 겁니다 여기에 이런식으로 생기거나 여기에 생길 수도 있습니다 아니면 이런식으로도 생길 수 있고 아니면 여러 형태로 가능합니다 여기서 발상을 얻어 어떻게 생겼는지 알아낼 수 있기를 바랍니다 특정 점에서 확인해 볼 수도 있겠네요 확실히 해야할 또 한 가지는 x=-3에서 함수가 정의되지 않는다는 것입니다 x=-3에서 함수가 정의되지 않는다는 것입니다 x=-3을 그려보면 여기가 그 위치가 되고 함수는 이런 식으로 생길 수 있습니다 함수는 이런 식으로 생길 수 있습니다 함수가 정의되지 않는 -3에서는 이런 식으로 생길 겁니다 나머지 부분도 이런 식으로 되겠죠 나머지 부분도 이런 식으로 되겠죠 아니면 이렇게 나타날 수도 있고 -3에서는 정의되지 않죠 여기는 점근선과 매우 가까이 있어 가까이 그려야합니다 이 쪽은 이렇게 생기거나 이런 식으로 나타나게 됩니다 다시 말하지만 정확한 모양을 원한다면 몇 가지 값을 확인해봐야합니다 이 영상이 끝난 뒤 스스로 해보세요 정확한 그래프 모양도 확인해보고 말입니다