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유리함수 그래프 그리기 2

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유리 함수 그래프를 그리는 다른 두 예시도 같이 해봅시다 y=2x/x+1 라고 해봅시다 처음 해야할 일은 만약 수평 점근선이 있다면 그것을 찾는 것입니다 처음 해야할 일은 만약 수평 점근선이 있다면 그것을 찾는 것입니다 예전에 제가 말했듯이, 여러분이 해야할 것은 분모와 분자의 가장 높은 차수의 항을 보는 것입니다 분자는 항이 하나인데 가장 높은 차수의 항은 2x입니다 분자는 항이 하나인데 가장 높은 차수의 항은 2x 입니다 그리고 분모의 가장 높은 차수의 항은 x 입니다 둘 다 1차 항 입니다 따라서 x가 무한대로 가면 y에서 x가 매우 큰 값을 가지기 때문에 이 두 항이 가장 영향력이 세집니다 이건 별 영향을 주지 못합니다 그럼 y는 약 2x/x 이 될 것이고 그것은 2 입니다 그럼 y는 약 2x/x 이 될 것이고 그것은 2 입니다 x가 마이너스 무한대로 가도 마찬가지입니다 x가 매우 커지거나 매우 작아지면 이건 2에 가까워집니다 이 항은 별 영향이 없습니다 그럼 이제 수평 점근선을 그려봅시다 수평 점근선은 y=2 입니다 그려봅시다 이게 수평 점근선 입니다 이 y=2 입니다 수평 점근선 그래프는 x가 양수로 커지거나 음수로 작아지면서 수평 점근선에 점점 가까워지지만 절대 만나지 않습니다 그럼 수직 점근선은 있을까요? 네, 당연히 있습니다 x= -1 이면 이 식 또는 함수가 정의되지 않기 때문에 그 때 수직 점근선이 있습니다 y가 x= -1 일 때 정의가 안된다고 합니다 x가 -1이 되면 분모가 0이 되기 때문에 그것은 분명히 참입니다 1/0이 무엇인지 모르잖아요 그건 정의가 안됩니다 그럼 x= -1 이 수직 점근선이 됩니다 x가 소거되지 아 x+1 이 다른 것과 소거되지 않기 때문이죠 아 x+1 이 다른 것과 소거되지 않기 때문이죠 간단한 예시를 하나 들어보겠습니다 y=x+1/x+1 식이 있다고 합시다 y=x+1/x+1 식이 있다고 합시다 이 상황에서 여러분은 x가 -1 일 때 그래프가 정의가 안된다고 할 수 있습니다 그리고 -1을 여기 대입하면 분모가 0이 되서 여러분이 맞을지도 모릅니다 그리고 -1을 여기 대입하면 분모가 0이 되서 여러분이 맞을지도 모릅니다 근데 사실 그 때 분자도 0이 됩니다 그럼 0/0 을 얻습니다 그건 정의가 안됩니다 하지만 여기서 볼 수 있듯이 x가 -1로 가지 않아서 이 항들이 0이 되지 않으면 x가 -1로 가지 않아서 이 항들이 0이 되지 않으면 분모와 분자를 x+1로 나눠서 x가 -1이 아닐 때 이 값은 1이 될 것입니다 x가 -1이 아닐 때 이 값은 1이 될 것입니다 x= -1이 아니면 즉, 이 항들이 0으로 가지 않으면 이 값을 1이라고 할 수 있습니다 x= -1 이면 이 값은 0/0이 되서 알 수 없습니다 따라서 이 상황에서는 수직 점근선이 없습니다 따라서 이 그래프는 수직 점근선이 없습니다 그럼 이제 여러분은 이 그래프의 모양이 궁금할 것입니다 그럼 이제 여러분은 이 그래프의 모양이 궁금할 것입니다 다른 곳에다 그려보겠습니다 이 그래프를 그릴려고 할 때 x= -1이 아닌 곳에서는 y=1이 됩니다 따라서 이 그래프의 경우 x= -1인 점을 제외하고는 y=1이 됩니다 x= -1인 점은 정의가 안됩니다 따라서 이 점에 동그랗게 그리겠습니다 구멍이 있는 작은 원을 그려서 x=-1일 때 y가 무엇인지 모른다고 표시합니다 x=-1일 때 y가 무엇인지 모른다고 표시합니다 그래서 이 그래프는 이렇게 생겼습니다 수평선처럼 보이네요 수직 점근선은 아닙니다 그리고 이건 이 항과 이 항이 x= -1이 아닐 때 소거되서 항들이 0으로 가지 않기 때문에 이렇게 됩니다 항들이 0으로 가지 않기 때문에 이렇게 됩니다 수직 점근선을 알아볼 때 이걸 좀 내리겠습니다 수직 점근선을 알아볼 때 이 항이 분자와 소거되지 않는다는 것을 확실히 하고 싶을텐데 이 경우엔 아닙니다 이 경우엔 그렇게 되지만 수직 점근선이 없습니다 이 경우엔 그렇게 되지만 수직 점근선이 없습니다 근데 이 경우엔 소거되지 않고 수직 점근선을 갖습니다 x= -1은 이 그래프의 수직 점근선입니다 x= -1은 이 그래프의 수직 점근선입니다 x= -1 수직 점근선을 그려보겠습니다 이렇게 생겼어요 그래프가 어떻게 되는지 알아보기 위해 값 몇개를 계산해봅시다 x=0 일 때 어떻게 되나요? x=0이면 분자는 2 곱하기 0 해서 0 이고 분모는 0+1 입니다 그럼 0/1 = 0이 나옵니다 점 (0, 0) 이 그래프에 있습니다 x=1 일 때는 어떻게 될까요? 분자는 2 곱하기 1은 2고 분모는 1+1 이니까 2/2 가 되겠네요 이 값은 1 입니다 따라서 그래프가 점 (1, 1)을 지납니다 이 점들이 그래프 위에 있습니다 점을 계속 찍을 수 있는데 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 점을 계속 찍을 수 있는데 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 오른쪽에서 수직 점근선에 가까워지면서 마이너스 무한대로 갑니다 이 쪽으로 가면 마이너스 무한대로 갑니다 +x 방향으로 가면서 수평 점근선에 가까워집니다 +x 방향으로 가면서 수평 점근선에 가까워집니다 그래프는 이렇게 생겼습니다 이제, x= -2 일 때 어떻게 될까요? 더 어두운 색깔로 하겠습니다 빨간색으로 하겠습니다 x= -2 일 때 어떻게 될까요? -2 곱하기 2 는 -4 입니다 -4/-2+1 이 되고 -4/-2+1 이 되고 그건 4 입니다 따라서 (-2, 4) 입니다 -2, ... 1,2,3,4 (-2, 4)가 그래프 위에 있습니다 다른 점 하나를 더 찍어보겠습니다 -3 일 때 어떻게 될까요? -3 일 때 분자는 2 곱하기 -3 은 -6 이고 분모는 -3+1= -2 입니다 2 곱하기 -3 은 -6 이고 분모는 -3+1= -2 입니다 -6/-2 = 3 입니다 따라서 점 (-3, 3) 입니다 1, 2, 3 1, 2, 3 여기네요 따라서 그래프는 이렇게 생겼습니다 마이너스 무한대가 되면서 수평 점근선의 위쪽에 가까워집니다 x= -1 에 가까워지면서 무한대로 올라갑니다 그래프가 이 식을 만족하는지 다시 한번 확인합시다 그래프가 맞는지 확인합시다 그래핑 계산기로 해보겠습니다 y=2x/x+1 이걸 다 지우고 그래프를 그립시다 여기 있습니다 우리가 그린 것과 같네요 이게 수직 점근선입니다 여기선 점으로 연결되있는데 원래는 정의되지 않습니다 계산기는 양의 극한값을 아래로 연결했습니다 이것은 그래핑 계산기가 점들의 위치를 정확히 계산해서 점들을 서로 연결하기 때문입니다 따라서 계산기는 이 곳이 점근선이라는 것을 모르고 점들을 연결합니다 하지만 여기는 연결되있으면 안됩니다 이 예제가 도움이 되었길 바랍니다