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주요 내용
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유리함수 그래프 그리기 4

동영상 대본

또 다른 유리식 그래프를 그려 보도록 합니다 왜냐하면 여기서 충분한 연습이 되지 않기 때문입니다 y는 x^2-x-6분에 x라는 식이 있습니다 우리가 가장 먼저 하고 싶은 것은 이 수식에 수직의 점근선이 있나 보는 것입니다 그래서 곱하면 -6이 되고 더하면 -1이 되는 두 수는 무엇이 있을까요? 다른 부호를 가지는 두 수이겠습니다 하나는 양수가 될 것이고 (생략) 하나는 음수가 될 것입니다 2와 3이 상당히 가까울 것으로 보이는데요, 그러나 부호가 서로 같으므로 큰 수에 음수를 붙여서 그 두 수를 더하여 음의 값이 나오게 하겠습니다 그래서 x-3 곱하기 x+2라는 식이 맞겠네요 이렇게 하면 -6도 나오게 됩니다 -3x+2x 즉 -3 곱하기 x 더하기 2 곱하기 x는 -x이므로 맞는 인수분해가 될 것입니다 그래서 이 식은(x+2)(x-3)분에 x가 될 것입니다 저번 영상에서 볼 수 있듯이 이 표현에서 x+2나 x-3이 분자의 어떤 값과도 나누어 떨어지지 않으므로 우리는 이 식이 점근선을 찾는 데 도움을 줄 것이라는 것을 알 수 있습니다 점근선은 이 식이 0이 되거나 이 식이 0이 될 때의 선인데 왜냐하면 이 점들에서 우리의 식은 정해지지 않기 때문입니다 그래서 x이 -2가 될 때와 x가 -3이 될 때 이 식은 0이 됩니다 이 것을 여기에 한번 해 보죠 x가 -2 혹은 +3일 경우 분모에 0이 될 경우에 y의 값은 정해지지 않을 것입니다 그래서 점근선은 x가 -2일 때입니다 그래서 여기 점근선이 생기게 됩니다 또 다른 점근선은 x=3일 때 생깁니다 (생략) 이것이 또 다른 점근선이 되게 됩니다 그렇다면 이제 수평의 점근선이 존재하는지 한 번 생각해보죠 만약에 x가 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산할 경우 어떻게 될까요? 이전에 말했듯이 분자의 가장 높은 차수와 분모의 가장 높은 차수를 보아야 합니다 이제, 분모의 가장 높은 차수는 x^2이고 분자의 가장 높은 차수는 x가 된다는 것을 볼 수 있습니다 그래서 x가 정말 커지게 된다면 무슨 일이 일어날까요? 수를 넣어 보자면 100만의 제곱 분에 100만 정도 될 것이고, 약분하면 100만 분에 1이 될 것입니다 분자의 x는 의미가 없을 것이고 분모의 x^2는 어떤 항보다도 가장 빨리 커질 것입니다 이것은 x^2항입니다 x가 커지게 된다면, 이 항은 분자의 항을 포함한 다른 항들보다 커지게 될 것이고 실질적으로 전체 식은 0이 될 것입니다 분모가 정말 빨리 증가하여 분자의 증가 속도보다 훨씬 더 빠르게 된다면 식은 0으로 수렴할 것입니다 그래서 평행한 점근선은 y=0 축입니다 이 x축에 점선으로 그리겠습니다 그래서 이것은 y=0이라는 선입니다 다시 한 번, 우리는 분모에 가장 높은 차수가 있음을 알 수 있고 분모의 차수가 가장 높으므로 분자보다 훨씬 더 빨리 성장할 것입니다 당신은 이것을 계산기로 해 볼 수 있습니다 그리고 이것은 음의 무한대로 가거나 양의 무한대로 갈 때 맞다는 것을 알 수 있습니다 분모가 분자를 압도하게 되어 훨씬 더 커질 것이고 결과적으로 식은 0으로 수렴하게 될 것입니다 분수의 값은 계속해서 작아질 것입니다 (생략) x가 계속 커지게 된다면 어떤 일이 일어날까요? 제가 제 계산기로 한 번 보여드리겠습니다 x가 10이라고 하죠 10^2-10분에 10은 (실제로 이것을 할 필요는 없지만 저는 단지 이 양상을 보여주고 싶은 것일 뿐입니다) 이런! 제가 그래프로 계산한 게 아니네요 여기서 나가겠습니다 다시 한번, 10^2-10분에 10이 있다면 (실제로 이런 것을 할 필요는 없지만 저는 단지 양상을 보여주고 싶을 뿐입니다) 여기에 괄호를 넣겠습니다 여기도 넣고요 여기도 넣고 저기도 넣겠습니다 작은 수를 얻게 됩니다 그러나 X가 더 커진다면 어떻게 될까요? 이번에는 10 대신에 x의 값을 100으로 넣어보도록 하죠 여기에 있는 10을 모두 100으로 바꾸겠습니다 여기에 100을 넣는다면 우리는 무엇을 얻게 될까요? 더 작은 값을 얻게 됩니다 x의 값에 1000을 넣게 된다면 이것보다 더 작은 것이 될 것 입니다 이것은 분모의 이 항이 다른 항보다 더 빨리 증가하기 때문입니다 그렇기 때문에 수평의 점근선이 y=0이 됩니다 이제, 우리가 가장 마지막으로 하고 싶은 것은 우리는 점근선을 그렸기 때문에 몇 개의 점을 찾아보는 것입니다 여기에 작은 표를 그려보겠습니다 여기 표가 있습니다 x가 0일 때, y의 값은 무엇일까요? x가 0이므로, 여기의 나머지 부분도 모두 0이고 -6분에 0은 그냥 0이 됩니다 x가 1이 된다면 우리는 무슨 값을 갔게 될까요? 분자에 1을 가지게 되고 1^2-1분에 1이 나오게 됩니다 이것이 0이므로 -6이 됩니다 x이 -1일 때, 어떤 값을 가지게 될까요? x가 -1일 때 우리는 -1^2분에 -1을 갖게 되고 이겄은 1-(-1)입니다 그래서 이것은 1이고, 1-1-6이 분모에 있습니다 그렇다면 여기에는 무엇이 들어갈까요? 분자는 -1이고, 분모에는 2-6인 -4가 생기게 됩니다 그래서 이 값은 1/4가 되고요 우리는 양의 값을 가집니다 이것을 그려보자면 -1에는 1/4가 있고 아마 여기쯤 되겠네요 (생략) 이 그래프는(0,0)을 지나고 x가 1일 때는 -1/6을 지나게 됩니다 그래서 이 그래프를 계속 이어나가본다면 이 수직의 점근선을 접근하게 이어간다면 말이죠 양의 무한대로 발산할겁니다 이것은 충분히 말이 되는 일입니다 한 번 봅시다 우리가 오른쪽에서부터 2로 접근하게된다면 즉, x에 -1.9999999를 넣게 된다면 이 식은 매우 작은 양의 값이 될 것입니다 이 식은 음의 값이 될 겁니다 이 식도 음의 값이 될 것입니다 음의 값끼리는 서로 지워집니다 분모에는 매우 작은 양의 값이 있습니다 분자에 1이 있다는 것은 식의 전체 값이 매우 크다는 것을 보여줍니다 이제, 이 점근선을 왼쪽에서부터 접근하면 우리는 매우 큰 음의 값으로 다가갈 것입니다 제 감이 말하길 x가 1일 때 이미 음의 값이 나왔기 때문입니다 그런데 x의 값이 2.99999라면 (생략) 당신이 아이디어를 얻을 수 있습니다 x가 2.999라면 점금선에 정말 가까워질 것이고, 이것은 양의 값, 이것은 음의 값 이것은 양의 값이 되어 전체적으로 정말 작은 값이 나올 것입니다 그래서 수가 정말 작은 음의 값 분에 1이 된다면 (정말 정말 작은 음의 수이면 말입니다) 이 식은 정말 작은 수분에 1의 음의 값이므로 음의 무한대로 발산하게 됩니다 그렇디면 이제 다른 점에서는 어떤 값이 생길지 봅시다 x가 4이면 어떨까요? x가 4라면, 식은 14-4-6분에 4이고 값이 무엇이죠? 분모는 16-10 곧 6이고요 그래서 이 값은 4/6, 즉 2/3이 됩니다 그래서 x=4일 때, 2/3의 값을 이것처럼 가지게 됩니다 이것 역시 말이 되는 것이, 여기 보면 더 나아갈 수록 점근선을 향해 가야 하기 때문입니다 아마 이렇게 양의 무한대로 갈 것입니다 이것보다 약간 좁게 그리겠습니다 이것처럼 말입니다 여기서 아이디어를 얻을 수 있습니다 그렇다면 여기서, 무한대로 갈수록 점근선과 더욱 가까워지는 것을 알 수 있습니다 이것은 이 주변에서 더 부드럽게 꺾이는 곡선이 될 것입니다 (생략) 더 부드러운 곡선이 되어야 합니다 제 생각에는 당신도 아이디어를 얻은 것 같습니다 그렇다면, x가 -3일 때 무슨 일이 일어나는지 한 번 봅시다 x가 -3일 때, 식은 3의 제곱(9) 빼기 -3+6분에 -3이 되게 됩니다 이 식의 값은 무엇일까요? 이 식의 분모는 12-6인 6이 되고, 분자는 -3이어서 -1/2라는 값이 나옵니다 -1/2는 여기 이 쯤 됩니다 그래서 우리가 정말 작은 음의 값으로 갈 수록 이 점근선에 다가갈 것입니다 그리고 아마도 여기 이 수직인 점근선에 다가갈 것입니다 제 말을 못 믿겠다면 다른 점에 대해 계산을 더 해보셔도 좋습니다 증명을 위해 한 번 해 보도록 하겠습니다 우리의 식은 x^2-x-6분에 x입니다 이 식을 그려보겠습니다 네 여기 있네요 네 맞습니다 자, 보기 좋은 모양입니다 우리 수평 점근선은 0이고 계속 따라가다 보면 수직 점근선에 만나게 됩니다 다시 올라가서 다시 내려가면 또 다른 점근선에 다가가게 됩니다 그래서 다시, 이 그래프는 우리가 가진 그래프와 똑같이 생겼습니다 면밀히 보자면, 이 그래핑 계산기가 수치나 값에는 훨씬 더 정확합니다 그러나, 그 그래프의 형태는 똑같습니다 그래프를 그리고 싶다면 그 범위를 조금 조정할 수도 있겠습니다 x의 최솟값을 -5로 지정하겠습니다 x의 최댓값을 5로 똑같이 지정하겠습니다 약간 확대되는 느낌이겠습니다 그래프를 그려보겠습니다 뱀! 뱀! 여기 있네요! 우리가 방금 그렸던 것과 똑같은 그래프가 나옵니다 당신이 이 사실에 만족하기를 바랍니다