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이 문제는 주어진 두 다항식의 최소 공배수를 찾는 문제입니다 첫 번째 다항식은 3z^3 - 6z^2 - 9z 이고 두 번째 다항식은 7z^4 + 21z^3 + 14z^2 입니다 여러분은 두 다항식의 최소공배수보다는 두 수의 최소공배수에 더 익숙할 것입니다 두 수의 최소공배수를 구하는 한 가지 방법을 생각해 봅시다 4와 6의 최소공배수를 구해야 한다면 각각의 배수들을 모두 관찰하여 둘 모두의 배수 중 어느 것이 가장 작은지 찾아보면 됩니다 4의 배수는 4, 8, 12, 16, ... 이고 6에 대해서도 같은 방법으로 하면 6, 12, 18, 24, ... 이 될 것입니다 6, 12, 18, 24, ... 이 될 것입니다 그러면 두 수가 공배수를 갖는다는 사실을 알 수 있습니다 그리고 그 중 가장 작은 수는 12임을 알 수 있습니다 최소공배수를 구하는 다른 방법은 각각의 수의 소인수들을 구해보는 것입니다 4를 소인수분해해보면 4를 소인수분해해보면 4 = 2 x 2 임을 알 수 있습니다 마찬가지로 6 = 2 x 3 이 됩니다 따라서 4와 6의 최소공배수는 최소공배수는 두 수의 모든 약수를 인수로 가져야 하므로 2 x 2를 인수로 가져야 합니다 또 2와 3을 인수로 가져야 하는데 2는 이미 있으므로 2는 이미 있으므로 이 수가 6으로 나누어 떨어지기 위해서는 3을 인수로 가져야 합니다 따라서 두 수의 최소공배수는 각각의 모든 약수들을 인수로 가져야 합니다 따라서 이 문제에서는 적어도 두 개의 2와 한 개의 3을 인수로 가져야 합니다 2개의 2만 있으면 6의 약수인 2도 모두 포함시킬 수 있기 때문입니다 구한 답인 2 x 2 x 3을 계산해보면 앞에서도와 동일하게 12가 나옵니다 이제 다항식의 최소공배수에 대해서 생각해 봅시다 방법은 두 수의 최소공배수를 구하는 것과 유사하지만 조금 더 깊이 생각을 해 보아야 합니다 인수에 대해서 생각을 해보면 최소공배수는 양쪽 인수를 모두 가지고 있어야 하지만 그보다 더 많이 갖지는 않아야 합니다 두 다항식의 공배수를 찾는 것이라면 두 식을 곱하면 언제든지 쉽게 구할 수 있습니다 하지만 이 문제는 임의의 공배수를 구하는 것이 아니라 최소공배수를 구하는 문제입니다 이제 각각의 다항식의 인수를 구해봅시다 첫 번째 식을 살펴보면 첫 번째 식을 살펴보면 모든 항은 3z 로 나누어 떨어짐을 알 수 있습니다 따라서 공통인수 3z를 묶어줍시다 3z^3 = 3z x z^2 3z^3 = 3z x z^2 - 6z^2 = 3z x (-2z) - 6z^2 = 3z x (-2z) - 9z = 3z x (-3) 여기서 3z를 각각의 항에 다시 곱해주면 원래의 식과 동일해짐을 알 수 있습니다 이제 이 식을 더 인수분해 할 수 있을지 생각해봅시다 곱하면 -3이 되고, 더하면 -2가 되는 두 수를 생각할 수 있을까요? 두 수의 곱이 음수이므로 하나는 양수이고 다른 하나는 음수일 것입니다 이 조건을 만족하는 두 수는 -3과 1임을 알 수 있습니다 따라서 이 식은 3z(z+1)(z-3) 로 인수분해 할 수 있습니다 3z(z+1)(z-3) 로 인수분해 할 수 있습니다 이제 첫 번째 다항식은 인수분해를 완료했습니다 1 x (-3) 은 -3 이고 z - 3z 는 -2z 이므로 알맞게 인수분해가 되었습니다 다음으로 z에 대한 4차식인 두 번째 다항식을 인수분해해 보겠습니다 이 다항식의 모든 항들은 7z로 나누어떨어지므로 주어진 다항식을 7z^2 으로 묶어줍시다 7z^4 = 7z^2 x z^2 7z^4 = 7z^2 x z^2 21을 7로 나누면 3이고 21을 7로 나누면 3이고 z의 세제곱을 z의 제곱으로 나누면 z이므로 3z가 됩니다 14를 7로 나누면 2이고 z의 제곱을 z의 제곱으로 나누면 1이 되므로 2가 됩니다 이제 z^2 + 3z + 2를 더 인수분해 해봅시다 2 x 1 은 2이고, 2 + 1 은 3이므로 (z+1) x (z+2) 가 됩니다 이제 두 다항식의 최소공배수를 구해봅시다 지금까지 두 정수를 소인수분해 하듯이 두 다항식을 인수분해 해보았습니다 인수분해를 함으로써 다항식을 더 간단한 식으로 나타내어 최소공배수를 구하기 편하게 만들었습니다 두 다항식의 최소공배수는 각각의 인수들을 모두 가져야 합니다 따라서 3z를 인수로 가져야 하므로 따라서 3z를 인수로 가져야 하므로 3과 z를 따로 쓰면 3과 z를 인수로 가져야 합니다 3과 z를 인수로 가져야 합니다 (z+1)도 인수로 가져야 하며 (z+1)도 인수로 가져야 하며 (z+1)도 인수로 가져야 하며 (z+1)도 인수로 가져야 하며 (z-3)도 인수로 가져야 합니다 두 번째 다항식을 살펴보면 7은 앞에서 나온 적이 없으므로 3뿐만 아니라 7도 인수로 가져야 합니다 인수로 가져야 합니다 z^2도 인수로 가져야 하는데 z는 이미 곱해져 있으므로 하나의 z만 추가하면 됩니다 하나의 z만 추가하면 됩니다 따라서 이미 곱해둔 z를 z의 제곱으로 바꾸겠습니다 그러면 z와 z^2 모두를 포함하고 있게 됩니다 z+1은 이미 곱해져 있고 z+2 도 인수로 가져야 하므로 z+2 도 곱하겠습니다 이것이 바로 두 다항식의 최소공배수입니다 이것을 다시 한 번 적어보겠습니다 21 z^2 21 z^2 (z+1) 21 z^2 (z+1) (z-3) 21 z^2 (z+1) (z-3) (z+2) 21 z^2 (z+1) (z-3) (z+2) 21 z^2 (z+1) (z-3) (z+2) 21 z^2 (z+1) (z-3) (z+2) 여기서 주목할 점은 우리가 두 다항식의 최소공배수를 구하기 위해서 사용한 방법은 두 수의 최소공배수를 구할 때 소인수를 이용해서 구한 방법과 매우 유사하다는 것입니다 최소공배수는 모든 소인수를 포함하되 불필요한 것을 추가로 곱해서는 안됩니다 예를 들어서 이 식에 100을 곱하더라도 여전히 두 다항식의 공배수가 됩니다 하지만 두 다항식의 최소공배수는 아닙니다 같은 원리로 12는 4와 6의 최소공배수이지만 그냥 공배수를 구하고 싶다면 이 수에 100을 곱해서 1200을 구해도 여전히 두 수의 공배수가 됩니다 하지만 최소공배수는 될 수 없는 것입니다