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유리함수의 수직점근선 분석하기

동영상 대본

x=-3 이라는 수직 점근선을 가진 함수 q(x)를 살펴봅시다 항상 그랬듯이, 이런 식을 많이 바왔다면 영상을 잠시 멈추고 혼자 해결해봅시다 풀리건 안풀리건 저는 여러분과 함께 문제를 풀어볼 것 입니다 q(x)는 유리식 형태로 표현 되어있습니다 점근선을 다루기에 앞서 식을 좀 더 알아보기 쉽게 하기 위해 분자와 분모를 인수분해 합시다 분자를 먼저보면... 두 수의 곱은 2이고 두 수의 합은 3입니다 그 두 수는 2하고 1이 되겠습니다 따라서 (x+1)(x+2)로 인수분해 되겠습니다 이해되지 않는다면 2차식의 인수분해와 관련된 칸 아카데미의 다른 동영상을 보는 것을 권장합니다 분모는 (x+3)이고, x=1 , x=-2 일 때 분자는 0이 됩니다 이 때, 분모는 0이 되지 않습니다 따라서 x=-1, x=-2일 때 함숫값은 0이 됩니다 x=-3 일 때 분자는 0이 되지 않고 분모는 0이 됩니다 따라서 0이 아닌 수를 0으로 나누므로 수직 점근선이 될 것입니다 x가 -3에 가까워질 때 그래프는 이렇게 위로 솟거나 아님 아래로 내려가거나 또는 반대 쪽에서 위로 솟을 수도 있고 이러한 아래로 내려가는 모양이 될 수 도 있습니다 x=-3, 즉 점근선으로 x가 가까워질 때 함수는 양 쪽 방향 모두에서 양의 무한과 음의 무한으로 발산할 수 있고 또는 한 쪽 방향에서는 양의 무한 다른 한 쪽 방향에서는 음의 무한으로 발산할 수 있습니다 방향성에 대해서 혼란스러울 수 있습니다 이번 영상에서는 그 점에 대해 다루려고 합니다 여기에 수직선을 그리고 관심있는 몇 가지 값들을 나타내겠습니다 먼저 x=-3을 나타내고 -2와 -1도 나타내어 줍시다 그러면, x에 가까워지는 것은 무엇을 의미할까요? x가 음의 방향에서 -3에 가까워지는 것은 무엇을 의미할까요? 명확하게 말하자면, 여기에 있는 첨자는 음의 방향에서 가까워지고 있음을 의미합니다 즉, -3보다 더 작은 값에서 - -3으로 가까워진다는 것을 의미합니다 이 마우스가 움직이는 것 처럼 가까워지는 것입니다 이 방향으로 가까워지게 됩니다 다르게 설명하자면, 음의 방향이란 것은 x가 -3보다 작은 구간에서 -3으로 가까워지는 것 입니다 그렇다면 x가 -3에 음의 방향(왼쪽)에서 접근할 때 q(x)의 부호는 어떻게 될까요? -3보다 작은 임의의 수를 1에 더합니다 음수가 됩니다 마찬가지로 -3보다 작은 수를 2에 더해도 그 값은 음수가 됩니다 -3보다 작은 수를 3에 더해도 역시 값은 음수가 됩니다 음수와 음수의 곱은 양수이고 그 수를 다시 음수로 나누므로 전체 식은 음수가 됩니다 따라서 x<-3 구간에서 q(x)는 음수가 됩니다 점근선이 위치해 있는 -3으로 왼쪽에서 가까워 질 때 q(x)는 음수가 됩니다 또한 그 음수는 음의 무한으로 발산합니다 따라서 x가 -3에 음의 방향에서 가까워지면 q(x)는 음의 무한으로 가게 됩니다 따라서 이 보기와, 이 보기가 맞습니다 직접 값을 넣어 계산해 봅시다 -3 q(-3), q(-3.1), -3.1이 -3 왼쪽에 있습니다 -3.1은 여기에 위차할 것 입니다 약간 더 떨어져 있어야 하겠네요 제가 표시한 것 쯤에 위치할 것 입니다 q(-3.1)을 계산해 보자면 -3.1+1 =-2.1 -3.1+2 역시 음수입니다 -1.1과 1.1을 식에 대입합시다 이 수는 분자에 가게 되구요, -3.1+3= -0.1 분자에 있는 양의 값을 -0.1로 나눈다면 그러니까 -10을 곱하는 것과 같겠죠 따라서 q(-3.1)은 매우 작은 음의 값을 갖게 됩니다 그리고 -3.1대신 -3.01을 대입했다고 생각해 본다면 여기에 1대신 01이 위치할 것입니다 따라서 식을 -0.01로 나누게 됩니다 아까보다 더 작은 음의 값으로 가게 됩니다 따라서 음의 무한으로 가까워 집니다 이제 두 가지 선택지가 남아있습니다 x가 양의 방향에서 접근하면 어떻게 될 것인지 생각해 봅시다 이 표기법은 무엇을 의미할까요 이 첨자는 양의 방향을 의미합니다 따라서 양의 방향을 따라 가봅시다 이제 -2와 -3사이의 구간에 집중할 것 입니다 분자에 있는 식의 부호를 모르기 때문입니다 여기에 텅 빈 원을 그려주면 여기에 텅 빈 원을 그려주면 -2는 고려해줄 필요 없습니다 마찬가지로 -3또한 고려해줄 필요 없습니다 합수가 그 점에서는 정의 되지 않기 때문입니다 이 구간에서 (x+1)은 여전히 음수입니다 -2.5+1은 -1,5가 됩니다 (x+2)역시 음수가 됩니다 -2보다 작은 수를 택한다면 2를 더하더라도 여전히 음수가 됩니다 그러면 3을 더할 때를 생각해 봅시다 3에 이 구간의 수를 더한다면 그 수는 -3보다 크기 때문에 즉, -3보다 덜 작기 때문에 (x+3)은 양수가 됩니다 q를 생각해봅시다 q(-2.99), 어떤 값을 가질까요? -2.99에 1을 더하면 -1.99가 됩니다 2를 더하고 곱한다면 -0.99를 곱하게 되죠 -2.99+3은 0.01이 됩니다 따라서 분자에는 양의 값이 위치하고 그 수를 0.01로 나눕니다 즉, 100을 곱하게 됩니다 따라서 식의 값은 더 커집니다 오른쪽에서 -3에 가까이 접근하면 할 수록 값은 무한에 가까워집니다 따라서 q(x)는 양의 무한에 가까워집니다 따라서 이 선택지가 맞게 됩니다 따라서 이 선택지가 맞게 됩니다 이 선택지는 음의 무한으로 가까워 질 것이라고 말하고 있습니다 따라서 이 선택지를 고르겠습니다