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유리식 간단히 나타내기: 변수가 두 개일 때

동영상 대본

우리가 이 수식을 더 단순화할 수 있을지 살펴봅시다 잠시 동영상을 멈추고 풀어보세요 참 흥미로운 수식입니다 두 가지 변수로 이루어져 있지만 우리가 이미 다뤘던 아이디어가 그대로 사용되기 때문입니다 한 변수로 인수분해했을 때를 떠올려보세요 예를 들면, 분자에서 계수가 한 문자로만 이루어지지 않은 이차 항이 있습니다 별로 달갑진 않지만, 여러분들은 해낼 수 있습니다 모든 항이 5로 나누어 떨어지기 때문에 5를 먼저 인수로 꺼내 줍니다 분자를 다시 쓰겠습니다 5 곱하기 여기 5를 꺼냈으므로, x^2 더하기 4 4xy가 아니라 4yx로 표기하겠습니다 조금 뒤에 제가 왜 이렇게 표기했는지 알 수 있을 겁니다 정말로, 그 이유를 말씀드릴게요 제가 왜 이렇게 했는지를요 왜 y를 먼저 썼는지 말입니다 이 방법은 이차식을 다룰 때 필요한 일종의 규칙입니다 x^2+4yx 여러분은 4y를 계수로 보면 됩니다 x 1차항에 관해서요 x 1차항의 오른쪽에 더하기 4y^2을 덧붙이면 일단 식 정리가 끝났습니다 끝 이제 분모로 넘어갑시다 분모를 인수분해할 수 있나요? 생각해봅시다 여러분은 두 수를 아시나요? 다시 질문하자면 곱을 표현 할 때의 두 가지 표현방식을 아십니까? 여기 -6y^2이 있고 x를 문자로 생각하면 계수로 -x y를 얻을 수 있습니다 방금 잘못 말씀드렸습니다 계수는 -y입니다 알아보기 쉽게 표기를 바꾸겠습니다 -xy를 다시 쓰자면 -y x로 바꿔 표기해도 무방합니다 x라는 변수의 계수가 -y라는 것을 강조하기 위함입니다 앞서 말씀 드린 두 가지 표현방식은 a*b 꼴이 -6x 로 나타나며 a+b 꼴은 -y로 나타낼 수 있다는 것입니다 이 두가지 표현 방식에서 a와 b 두 문자를 살펴보자면 a와 b는 y에 관한 식으로 나타낼 수 있습니다 만약 a+b가 -1이고 a*b가 -6이었다면 a와 b 두 수는 -3과 +2일 것입니다 원래 상황으로 돌아와서 a와 b를 -3y와 +2y라고 한다면 정말로 그 둘의 곱은 -6y^2 이고 -3y와 +2y의 합은 정말로 -y와 같습니다 a와 b의 해를 모두 찾았습니다 신기하지 않나요? 어떻게 갑자기 -2y 또는 -3y와 +2y를 바로 떠올릴 수 있었을까요? 비슷한 이차식을 적어보겠습니다 한 변수만 가질 때의 경우를요 만약 제가 x^2-x-6을 적고 여러분께 인수분해 할 수 있는지 질문한다면 "당연하죠!" 라고 답할 겁니다 왜냐하면 +2와 -3를 곱하면 -6이 되고 그 둘을 더하면 +1을 얻을 수 있을 겁니다 그러면 여러분은 (x-3)*(x+2) 위의 식과 다른 점은 x의 계수로 -y대신 -1이 있습니다 여러분은 계수로 -y을 다뤄야하죠 그냥 -6 대신에 -6x^2이 있습니다 여러분들이 주목하셔야 할 부분은 그냥 -3과 +2 대신에 -3y와 +2y가 있습니다 다행스럽게도, 여러분들은 제가 이전에 한 문자로만 이루어진 인수분해를 많이 다뤄드렸기 때문에 이번에 더 친숙하게 느낄 수 있을 겁니다 이제 우리는 분모를 인수분해했으므로 다시 써주겠습니다 (x-3y) 곱하기 (x+2y) 아직은 더 인수분해 될 것이 없는 것 같지만 빨간 글씨로 된 부분은 더 단순화될 여지가 있습니다 간단한 연습을 해보겠습니다 방금 했던 것처럼 말이죠 어떤 두 식을 곱하면 4y^2 이 나오고 더하면 4y가 될까요? 2y가 두 개 있으면 될 것 같습니다 분자를 다시 써보겠습니 이제 선을 그어서 이전에 한 것을 구분하겠습니다 위 식은 5 곱하기 (x+2y) 곱하기 (x+2y)^2 이라고 하겠습니다 아니면 (x+2y)*(x+2y) 라고 써도 무방합니다 다시 한번, 2y*2y=4y^2 이고 2y+2y=4y 입니다 분자가 이렇게 인수분해 된 이유입니다 다 이해 하셨죠? 분모는 (x-3y) 곱하기 (x+2y) 이제, 분자와 분모에 공통 인수 (x-2y)가 생겼습니다 따라서 (x+2y)를 약분시키겠습니다 여기에서 놓치지 말아야 할 것은 만약 x+2y가 0이 아니라는 가정입니다 매우 중요한 전제조건입니다 공통인자를 소거하고 나면, 이 정보를 알 수 없게 되기 때문입니다 약분 전후의 두 식이 대수적으로 같으려면 (x+2y)는 0이 아니라는 사실을 말해줘야만 합니다 또는 이렇게 말해줘도 되는데요 x가 -2y와 같지 않다 약분을 한 뒤 남은 식을 보면 5를 괄호로 묶인 식에 분배해줄 수 있습니다 이 식을 전개해서 다시 쓰자면 분자는 여기에 쓰겠습니다 5x+10y 분모는 x-3y 입니다 다시 한번, 처음 식과 대수적으로 동일하려면 x가 -2y가 아니라는 것을요 꼭 밝혀야 합니다 그리고 지금 박스치는 부분이 처음 식과 대수적으로 동일합니다 다만, 더 간단하게 정리되었죠