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유리식 간단히 나타내기: 차수가 높은 항

동영상 대본

이 식을 간단히 해봅시다 영상을 멈추고 먼저 해보세요 이제 같이 해 봅시다 이 식에서는 분모와 분자가 모두 인수분해될 수 있습니다 그리고 공통된 인수가 있을 수도 있습니다 그러면 분모와 분자에 공통된 인수를 약분할 수 있습니다 먼저 분자를 인수분해해 봅시다 x의 네제곱 더하기 8 x의 제곱 더하기 7 처음엔 어려워 보일 수 있습니다 x에 4제곱이 붙어있기 때문입니다 이차식이 아닙니다 사차식입니다 하지만 예전에 이차식을 많이 풀어봤다면 여기에 규칙이 있음을 알 수 있습니다 예를 들어.. x²+8x+7 이 식은 간단하게 인수분해할 수 있을 겁니다 이 식은 간단하게 인수분해할 수 있을 겁니다 합해서 8이 되는 두 수들이 곱해서 7이 된다면 무엇일까요? 곱해서 7이 되는 두 자연수는 한 쌍밖에 없습니다 또한 그들은 양수여야 합니다 합해서 8이 된다면 이 수들은 확실히 1과 7입니다 그래서 (x+7) (x+7)(x+1)이 됩니다 그런데 이 식에서는 x와 x²에 관한 식으로 보기보다 x²에 관한 식으로 생각하면 x²와 x⁴에 관한 식이 됩니다 똑같은 식입니다 그래서 이 식은 (x²+7) (x²+7)(x²+1)이 됩니다 치환해서 생각할 수도 있습니다 a=x²로 생각합시다 a=x²로 치환하면 이 식은 a²+8a+7로 나타낼 수 있고 이것을 똑같이 인수분해하면 (a+7)(a+1)이 됩니다 치환한 것을 이제 되돌리면 원래 식이 나옵니다 (x²+7) (x²+7)(x²+1) 보다 더 일반적으로 이 식을 봅시다 여기 고차항이 있고 절반 차수를 가진 항이 있습니다 그래서 이차식의 형태를 갖추고 그래서 치환을 할 수 있습니다 첫눈에 딱 알아볼 수 있다면 제일 좋습니다 x²로 계산하는 것 대신 x⁴로 계산하고 있을 뿐입니다 지금까지 분자를 계산했습니다 그래서 이제 분모를 계산해 봅시다 분모에는 양쪽 항이 모두 3x로 나누어 떨어집니다 그래서 3x를 일단 빼냅시다 그래서 3x 곱하기.. 3x 곱하기.. 3x를 바깥으로 빼내면 3 나누기 3은 1이므로 x^5를 x로 나누면 x⁴가 됩니다 3x를 오른쪽 항에서 빼내면 그냥 1이 되죠? 여기까지 해서는 약분이 되지 않습니다 분자에는 x⁴-1이라던지 3x라던지가 없기 때문입니다 하지만 더 많이 인수분해할 수 있습니다 x의 4제곱 빼기 1 두 제곱식의 차이 형태이기 때문입니다 여러분들이 보통 써 왔던 합차 공식을 쓰면 됩니다. a²-1이라는 식이 있다고 하면 이거를 a+1과 a-1의 곱으로 나타내는 공식입니다 이것도 a²-1로 볼 수 있을 겁니다 아까 a = x²를 대입하면 말입니다 그래서 a²-1이 되었습니다 모두 다시 써 봅시다 그래서 위의 식은 이렇게 됩니다 분자는 바뀌지 않고 초록색으로 쓰겠습니다 분자는 그대로 x²+7, 더이상 인수분해할 수 없습니다 곱하기 x²+1. 이 식도 끝났습니다 분모에는 이제 3x 하지만 이제 합차공식을 쓸 수 있습니다 x²의 제곱이고 그리고 1은 당연히 1의 제곱입니다 그래서 (x²+1) (x²+1)(x²-1) (x²+1)(x²-1)이 됩니다 이제 분자에도 (x²+1)이 있고 이제 분자에도 (x²+1)이 있고 분모에도 (x²+1)이 있습니다 분모에도 (x²+1)이 있습니다 그래서 이제 약분할 수 있습니다 그럼 이제 남는 식은 분자에 x²+7과 분모에 3x 3x(x²-1) 이제 좀 깔끔해 보입니다 그리고 약간 조심합시다 왜냐하면 항상 약분할때 x의 범위가 적절한지 확인해야 합니다 두 식이 대수적으로 같으려면 식이 일단 정의되어야 합니다 그래서 여기서는 분모가 0이 되면 안 되므로 x는 0이 되면 안 됩니다 1이나 -1도 되면 안 됩니다 1이나 -1이 이 부분을 0으로 만들 것입니다 분모는 0이 되면 안 됩니다 그래서 x는 ±1, 즉 1이나 -1이 아니여야 합니다 이 수들은 분모를 0으로 만들 것입니다 하지만 이 부분은 우리는 x가 실수일 때만 다루고 있으므로 이 부분은 영원히 0이 될 수 없습니다 실수만 다룰 때 말입니다 왜냐하면 실수의 제곱은 음수가 될 수 없는데 여기다가 양수를 더했으므로 그래서 이 항은 절대로 분모를 0으로 만들지 않습니다 그래서 이렇게 간단히 범위를 생각하지 않고 약분해도 괜찮습니다 그래서 실제로도 대수적으로 원래 식과 동등한 식입니다 여러분이 깐깐한 사람이라면 범위를 적어줘도 괜찮습니다 어느 x 범위에서 이 식이 정의되지 않는지를 말입니다 당연히 식은 분모를 0으로 만드는 x에 대해서 정의되지 않을 것입니다 0으로 나눌 수 없기 때문입니다 x가 ±1이라면 분모를 0으로 만듭니다 하지만 밑의 식에서도 원래 식과 제한이 같으므로 대수적으로 동등합니다 원한다면 분모를 전개해도 됩니다 양쪽에 3x를 곱해내는 것이죠 그래서 이 식은 x²+7 x²+7 / 3x³-3x 와 동등합니다 그래서 적힌 식들 모두가 동등합니다 그리고 문제가 풀렸습니다