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유리식 간단히 나타내기: 공통 인수가 단항식일 때

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유리식이 있습니다 이번 문제는 이 식을 더 간단히 표현하는 것입니다 대수적으로 동등하면서도 더 단순한 표현을 구하는 것입니다 만약 이 식을 정의되지 않게 만드는 x 값이 있다면 x 값의 범위를 제한하십시오 잠시 동영상을 멈추고 문제를 풀어보세요 쉽게 생각할 수 있는 이 식을 정의되지 않게 하는 x 값은 무엇일까요? 0으로 나누는 것은 정의되지 않기 때문에 x가 0이라면 14*0=0 이므로 식이 정의되지 않습니다 따라서 우리는 x는 0과 같지 않다고 할 수 있습니다 다른 모든 x에 대해서는 이 식이 정의될 수 있습니다 이제 본격적으로 식을 간단하게 만들어봅시다 분자와 분모의 모든 항은 x로 나누어 떨어집니다 7로도 나누어 떨어집니다 따라서 분자와 분모 모두를 7x로 묶어줄 수 있습니다 분자를 다시 쓰면 7x 곱하기 14x를 7x로 나누면 2x로 나누어 떨어집니다 7x는 7x로 나누면 1로 나누어 떨어집니다 인수분해한 식을 분배 법칙을 역으로 생각해서 전개해주면 7x*2x=14x^2 이 되고 7x*1=7x 가 됩니다 맞습니다 이제 분모에서 7x를 묶어냅시다 14x는 다시 쓰면 7x*2 로 나타낼 수 있기 때문에 7x*2 새로 쓴 식이 원래 식과 대수적으로 동일해야 하기 때문에 위에서의 제약조건을 지키면 x는 0이 될 수 없습니다 따라서 분자와 분모 모두를 7x로 나눠줄 수 있습니다 7x를 7x로 나누면 1이 되기 때문에 남은 식은 (2x+1)/2 이 식만으로는 x가 어떤 값이던지 가능합니다 하지만 원식과의 대수적 동일성을 지켜야 하기 때문에 위와 동일한 제약조건을 따릅니다 따라서 x는 0과 같지 않습니다 미묘하지만 매우 중요한 차이입니다 예를 들어, 여기 가리키는 함수를 정의할 때 정의역은 0을 포함하지 않습니다 따라서 이와 같이 정의한 함수를 단순화할때는 같은 함수이기 때문에 같은 정의역을 가져야만 합니다 대입해야 할 변수가 동일해야 하기 때문에 동등성을 보장하기 위해 완벽히 같은 제한조건이 필요한 것입니다 제약조건을 빠뜨린다면 처음과 나중 두 식은 x=0일 때를 제외한 모든 경우에서 동일합니다 나중 식은 x=0일 때 정의되고 처음 식은 정의되지 않기 때문에 대수적으로 동일하다고 할 수 없습니다 동일하기 위해선 제약조건이 필요합니다 이 식은 다른 방식으로 표현될 수도 있습니다 각각의 항을 2로 나누어 2x를 2로 나누어 x를 얻고 1을 2로 나눠 1/2를 얻습니다 다시 한번, x가 0이 아니라는 조건에는 변함이 없습니다 비슷한 연습을 다시 해보겠습니다 더 복잡한 식이지만 같은 연습입니다 더 간단히 표현해보세요 단순화를 하면서도 z의 범위를 제한할 때 주의를 기울여서 대수적으로 동일하게 표현하세요 식이 정의되지 않을 경우를 생각합시다 언제 정의되지 않는지를 알기 위해서 분모를 인수분해합니다 이 식이 무엇과 같은지 알기 위해서 이번에 첫 번째로 해야 할 것은 분자와 분모의 공통인수를 찾는 것입니다 모든 항이 z^2 으로 나눠 떨어지고 17로도 나눠 떨어집니다 따라서 17z^2으로 인수분해 할 수 있습니다 17z^2 로 분자를 묶어내면 남은 것은 17z^3을 17z^2으로 나누면 z로 나눠떨어지고 17z^2을 17z^2으로 묶어주면 1이 됩니다 다시 전개해서 확인해보면 17z^2과 z를 곱하면 17z^3 이 되고 17z^2과 1을 곱하면 17z^2이 됩니다 분자의 인수분해가 완료됬습니다 분모에서도 17z^2으로 묶어 인수분해 해주면 17z^2 과 다항식의곱의 형태로 말이죠 34z^3 을 17z^2 으로 나누면 34/17=2 이고 z^3/z^2 = z 입니다 -51/17=-3 이고 z^2/z^2=1 입니다 인수분해를 해냈습니다 더 깔끔하게 정리됬네요 더 간단하게 표현하려면 17z^2 을 17^2 으로 나눠주기만 하면 됩니다 다만, 정의역을 제한할 때 주의를 기울입시다 만약 z=0 일때 즉 17z^2이 0과 같을 때 분모는 0이 됩니다 원식에서도 확인할 수 있습니다 따라서 z는 0이 되지 않습니다 또한 z는 2z-3=0 이 되도록 하면 안됩니다 따라서, 2z-3=0 의 해를 찾아봅시다 2z-3=0 3을 양변에 더하면 2z=3 가 됩니다 양변을 2로 나누면 z=3/2 따라서 z는 0 뿐만 아니라 3/2 일 수도 없습니다 이것이 바로 정의역을 제한하면서도 식을 단순화할 수 있는 방법입니다 단순화를 위해 17^2 을 약분해주면 이제 남은 식은 (z+1) 나누기 (2z-3) 입니다 제약조건을 그대로 지켜 z는 0이 될 수 없습니다 두 번째 제약조건을 명시하는 것은 불필요합니다 왜냐하면 2z-3 이 식에 남아있기 때문이죠 만약 누군가 이 식을 본다면 분모는 0이 되지 않을 것이기 때문에 z는 3/2가 아니라는 것을 알 수 있을 겁니다 따라서 굳이 다시 적을 필요가 없는 것입니다 이 식 자체로 z가 3/2가 될 수 없음이 명백하기 때문입니다 됬습니다 그리고 문제에서 이 식이 어떤 값에서 정의되지 않는지 묻는다면 두 번째 제약 조건을 답에 포함시키면 됩니다 그냥 적겠습니다 쓴다고 나쁠 거야 없지요 z는 3/2 가 아닙니다 하지만, z가 0이 아니라는 첫 번째 제약 조건은 정말로 중요합니다 식에서 명백하게 드러나지 않기 때문입니다 이 식 자체만 보면 z=0 일때도 정의가 됩니다 하지만 처음과 나중 식이 대수적으로 동일해야 하기 때문에 이 두 식이요 같은 제약 조건을 가져야만 하는 것입니다