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다항식을 0으로 만드는 값과 그래프

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다음 다항함수의 실근을 이용하여 다음 그래프들 중에 위 식의 그래프를 나타낸 것을 고르시오 이 문제의 접근 방법은 여러 가지가 있습니다 일단은 이 그래프들의 근을 살펴보고 x가 그 값일때 이 함수가 실제로 0인지 살펴보는것이죠 시작하기 전에 언제나처럼 이 영상을 한번 멈추고 제가 답을 보여드리기 전에 직접 풀어보기를 권장합니다 이미 한번 혼자서 해보셨죠? 예를 들어 이 첫번째 그래프를 봅시다 이 지점에서 자명하게 근이 있네요 한번 유심히 살펴보면 x=-3일때 같군요 근사를 해보자면 말이죠 그래서 이 점은 (-3,0) 같습니다 여기에 x=-3을 대입해보면 y가 0이 되는지 봅시다 (-3)^3 +3(-3)^2 + -3 + 3이네요 결과가 어떤가요 이건 -27이고 이건 27이고 이건 -3이고 이건 3입니다 이건 서로 자워지고 이것도 서로 지워지네요 결과는 0입니다 제법 간단했네요 A는 성립을 하는 것 같습니다 여기에 있는 그래프 B도 해볼수도 있죠 그리고 -2에서 0이 되는지 봐야 합니다 이 점에서 말이죠 그리고 1, 3으로 보이는 점도 있네요 하지만 이미 A가 답인걸 아니까 여기에 x=-2, x=1, x=3을 대입해보면 여기 함수에다 말이죠 0을 얻지 못할것입니다 그리고 이제 맞지 않다는것도요 이것도 마찬가지입니다 4나 7으로 시도해 보면 0이 나오지 않겠죠 이 함수는 4 또는 7에서 0이 되지 않으니까요 이게 진짜 그래프가 아니라는 또 다른 근거는 근이 세 개가 필요하다는 것이죠 한번 써봅시다 그래서 근이 세 개가 있어야 하는데 이 근들은 실수 또는 복소수가 될 수 있죠 하지만 복소수 근은 짝지어서 나타납니다 그래서 실근이 세 개 있을 수 있죠 이게 실근이 세 개인 예입니다 이게 실제로 이 함수가 아니라는 사실은 우리가 이미 알고 있지만요 아니면 복소수 근이 하나 있으면 다른 복소수 근도 존재해야합니다 그래서 만약 복소수 근이 존재한다면 다음 가능성은 복소수 근 두개죠 그래서 이건 실근이 두개 있습니다 가능한 경우가 아니죠 이건 복소수 근이 하나라는 뜻인데 그건 불가능하니까요 또 다르게 생각하는 방법은 좀더 오래 걸리지만 여기 그래프가 없었다고 가정합니다 그리고 누가 그냥 근을 찾으라고 했다고 치죠 그럼 이걸 인수분해하려고 했을겁니다 이건 인수분해가 가능한 경우입니다 y = x^3 + 3x^2 + x + 3 이전 시간에서 말했듯이 3차 이상의 다항식을 인수분해하는데에는 기술이 필요합니다 하지만 대부분의 경우 누가 물을 때 이들을 특수 그룹으로 묶을 수도 있죠 공통인수가 보일 경우에는 더더욱 말이죠 예를 들어서, 처음 두 항은 x^2이라는 공통인수가 있습니다 이걸 묶어내면 x^2+3x가 남는데 이건 다음 두 항과 유사하기 때문에 유용합니다 이건 +1(x+3)으로 쓰면 x+3을 묶어낼 수 있죠 그래서 x+3을 묶어내면 (x+3)(x^2+1)을 얻을 수 있죠 그리고 이제 이 다항식의 근 또는 이 다항식이 y와 같으니까 y 가 0일 경우는 이 인수 중 하나가 0일 경우죠 x+3은 언제 0일까요? 양변에서 3을 빼면 x=-3일 경우네요 그럼 x^2+1은 언제 0일까요? x^2=-1일 경우는 실근은 존재하지 않습니다 x^2=-1인 실수가 존재하지 않으니까요 그래서 x는 허수 i가 될겁니다 좀 더 일반적으로 말하자면 복소수가 되는거죠 그래서 다시 한번 말하자면 한 쌍의 복소수 근이 존재하고 x=-3인 실근이 존재합니다