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등비급수 문제 해결하기 : 스윙

동영상 대본

원숭이가 나무에서 그네를 타듯 흔들리고 있습니다 첫 스윙에서 원숭이는 24m의 호를 그리며 지나갑니다 각 스윙마다 원숭이는 이전의 스윙보다 1/2만큼 줄어든 길이의 호를 그리며 지나갑니다 여기 무슨 일이 일어나고 있는 걸까요? 이것이 밧줄 맨 위라고 가정합시다 혹은 원숭이가 매달린 덩쿨 정도가 되겠죠 그래서 첫 번째 스윙에서 여기 작은 원숭이를 그릴게요 이게 제 원숭이입니다 그래서 첫 번째 스윙에서 원숭이는 24m를 움직입니다 아마 이런 식으로 움직일 겁니다 그려진 호는 24미터입니다 두 번째 스윙에서 원숭이는 이전 스윙의 절반만큼의 길이를 가진 호를 그립니다 그래서 원숭이는 다시 돌아오며 절반만큼의 길이를 지나 아마 저쪽으로 다시 움직이겠죠 이 길이는 12m일 것이고 그 다음 스윙에는 그것의 절반만큼인 6m만큼 움직일 것입니다 아마 이런 식으로 움직일 것입니다 타당해 보이죠 이것은 우리가 나무에서 매달렸을 때의 경험이랑 일치하는 것 같습니다 그럼 첫 번째 문제를 보죠 어떤 식이 원숭이가 첫 n개의 스윙을 한 후 그리는 호의 길이를 나타내나요? 여기서 동영상을 잠시 정지하고 식을 한 번 적어보세요 두 방식으로 식을 한 번 적어보세요 먼저 등비급수로 하나 적어보고 등비급수의 합으로써도 한 번 적어보세요 등비급수의 합으로써도 한 번 적어보세요 이제 같이 풀어보죠 이미 말했듯이 첫 번째 스윙에서 원숭이는 24m를 움직입니다 두 번째 스윙에서 아까 등비급수라고 살짝 힌트를 드렸습니다 절반만큼을 움직입니다 이제 여기에 12라고 적을 건데 절반이라는 값이 흥미롭네요 왜냐하면 이것이 바로 제 등비급수의 공비가 될 것이기 때문이죠 연속되는 각 스윙마다 그려지는 호의 길이는 이전 스윙이 만드는 호의 절반입니다 그래서 24 (1/2)일 것이고 다음 스윙에서는 그것의 절반이겠죠 그래서 24(1/2)(1/2)가 됩니다 달리 말하면 24(1/2)²입니다 달리 말하면 24(1/2)²입니다 이것이 첫 세 번의 스윙입니다 여기의 지수를 보면 2까지 올라갔습니다 그래서 첫 n번의 스윙에서는 그래서 첫 n번의 스윙에서는 24(1/2)^n이 아닌 24(1/2)^n-1제곱까지 올라갑니다 두 개의 스윙 이후에는 24(1/2)^1까지만 올라가는 것에 주목하세요 세 번의 스윙 이후에는 2제곱까지만 올라갑니다 따라서 n번의 스윙 이후에는 n-1제곱까지만 올라갑니다 이미 말했듯이, 이러한 식만 가지고는 충분하지 않아요 이것을 어떻게 계산할지를 알고 싶기 때문이죠 이것을 계산하는 방법은 식을 잘 살펴보고 다른 영상에서 증명하고 설명했던 것처럼 유한등비급수의 공식을 사용하면 됩니다 이것이 뜻하는 것은 여기 한번 적어볼게요 첫 n개의 항의 합은 a이고 a는 첫 번째 항입니다 그것이 이 경우에는 24가 될 것입니다 a에 공비를 곱한 값을 a에서 뺀 것과 같습니다 이미 공비는 (1/2)^n이라고 이야기했었죠 이것을 기억하기 쉽게 하려면 이것은 첫 번째 항에서 포함하지 않았던 첫 번째 항은 뺀 값 혹은 이 다음에 와야 했었을 항을 뺀 값을 구하고 그것을 1 - 공비로 나눈 값이죠 다른 방식으로 이 식이 적힌 것을 봤을 수도 있습니다 a를 괄호 밖으로 빼면 이런 식이 됩니다 a (1 - r^n)/(1 - r) 이 두 식은 서로 동일합니다 지금은 이 식을 사용해 보죠 그래서 이것은 그냥 여기 두 번째 식을 사용할게요 첫 번째 항은 24입니다 그래서 24에 1 - 공비 1/2의 n제곱을 곱합니다 1 - 공비 1/2의 n제곱을 곱합니다 여기서 첫 n개의 스윙 이후이기 때문에 여기 그냥 n을 적으면 됩니다 그 값을 1 - 공비 즉 1 - 1/2로 나누면 됩니다 이걸 이렇게 놔둬도 되고 좀 더 간단히 해도 되겠죠 1 - 1/2은 1/2이고 24 / (1/2)는 48입니다 그래서 원한다면 이것을 48 (1 - (1/2)^n)으로 간단히 나타낼 수도 있죠 둘 중 어느 식이든 정답이 될 수 있습니다 이제 두 번째 문제로 넘어가죠 원숭이가 25번째 스윙을 끝냈을 시점에서 움직인 총 거리는 얼마일까요? 구한 답을 소수 첫째 자리에서 반올림하여 나타내세요 영상을 잠시 정지하고 스스로 한 번 풀어보세요 좋아요, 여기 있는 식을 그대로 사용하면 되겠네요 25번째 스윙을 막 끝낸 시점이라는 것을 이미 알고 있죠 n은 25이니 여기 25를 적어보죠 그러니 48( 1 - (1/2)^25)가 될 것입니다 그러니 48( 1 - (1/2)^25)가 될 것입니다 이제 이것은 아주, 아주 아주, 아주 작은 숫자일 겁니다 그래서 이 값은 사실 48미터에 아주 가까운 값이겠지만, 그래도 정확한 값을 알아보도록 하죠 소수 첫째 자리에서 반올림해 보겠습니다 계산기를 한 번 꺼내보죠 1/2을 계산하면 0.5인데 0.5의 25제곱은 예상했듯이 아주 작은 수입니다 그리고 이것을 1에서 빼려면 음수 부호를 앞에 붙이고 1을 더하면 되겠네요 이것은 1에 아주 가깝습니다 예측이 들어맞았네요 이것을 48에 곱하고 소수 첫째 자리에서 반올림하면 다시 48미터가 나옵니다 그래서 답은 48미터입니다 문제를 모두 풀었네요