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주요 내용

이차부등식의 활용 문제

살만 칸이 사탕 자판기와 관련된 상황에 대한 식을 세웁니다. 이 식은 이차방정식입니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

Lisa는 무작위 사탕 자동 판매기를 가지고 있습니다 사탕을 뽑는 기계인데요 다양한 종류의 사탕을 무작위로 뽑습니다 Lisa는 각 사탕을 뽑는 확률을 조절합니다 '허니 버니' 맛이 다 떨어졌네요 그래서 그 확률을 조정하기로 합니다 다른 맛 사탕을 얻을 확률이 두 번 연달에 했을 때 한 번에 '허니 버니' 맛을 얻을 확률 보다 2와 4분의 1배 보다 크도록 말이죠. 한 번 더 읽어보겠습니다 확률을 조정하기로 합니다 다른 맛 사탕을 얻을 확률이 두 번 연달아 했을 때 '허니 버니'를 한 번에 얻을 확률 보다 2와 4분의 1 배보다 크도록 합니다 상황에 맞는 부등식을 써봅시다 한 번에 '허니 버니'를 얻을 확률을 나타내는 p를 쓰세요 부등식을 구하고 문장을 완성하세요 확률은 반드시 0과 1 사이라는 것 기억하세요 부등식을 문제에 맞게 적어봅시다 그리고 문장을 완성하세요 '허니 버니'를 한 번에 얻을 확률이 반드시- 많은 선택지를 줄 수 있도록 크거나, 크거나 같은, 작거나, 작거나 같은, 그리고 여기에 숫자를 넣으면 문제를 풀기 위해 이 문제를 복사해서 붙여 넣읍시다 여기 메모지에다가요 잠시 생각해 봅시다 문제에서 p를 한 번에 '허니 버니'를 얻을 확률로 나타내라했죠 또한 그녀가 확률을 조정하여 두 번 만에 다른 맛 사탕을 얻을 확률이 한 번에 '허니 버니'를 얻을 확률보다 2와 4분의 1보다 커야한다고 했습니다 그래서 만약 '허니 버니'를 얻을 확률이 p라면 동시에 다른 맛 사탕을 얻을 확률은 무엇일까요? 1-p입니다 '허니 버니'를 얻을 확률이 p라면 '허니 버니'를 제외한 확률은 1-p겠지요 그럼 연달아 두 번 한다면, 그 것과 다른 것을 얻는 확률은 무엇일까요? 그저 이 확률들을 서로 곱해봅시다 1-p 곱하기 1-p 또는 1-p 제곱이 되겠지요 바로 이것이 다른 맛 사탕을 연달아 두 번 했을 경우에 얻는 확률입니다 그래서 '허니 버니' 가 아닌 사탕의 확률이죠 연달아 두 번에 걸친 확률이죠 문제에서 이 확률이 한 번 만에 '허니 버니'를 얻을 확률보다 2와 4분의 1보다 커야 한다고 합니다 그래서 '허니 버니'를 얻을 확률보다 2와 4분의 1보다 큰 확률은 p에 어떤 수를 곱한 것입니다 그래서 첫 부분을 막 끝냈습니다 이 상황에 맞는 부등식으로 표현했죠 이제 이 부등식을 풀어 봅시다 먼저 1-p제곱을 전개하겠습니다 1-p는 무엇과 같냐면 곱해서 전개하겠습니다 계산하면 1제곱 마이너스 2p 마이너스 p제곱입니다 그리고 이 값은 2와 4분의 1보다 크죠 이제 봅시다 양 변에 2와 4분의 1p를 빼면 나온 값들을 정리하겠습니다 p제곱이 남습니다 마이너스 2p 마이너스 2 그리고 4와 1분의 p는 마이너스 4와 4와 1분의 p가 됩니다 그 식을 4분의 17p 더하기 1이 0보다 크다고 적겠습니다 이제 이 부등식을 어떻게 풀 것인지 생각해 봅시다 어떤 경우에 0보다 클까요? 그걸 생각해 보기 위해, 나누어 봅시다 나누기 전에 식을 간단하게 만들어봅시다 4분의 17이 복잡하니까 양 변에 4를 곱해봅시다 4는 양수이므로 부등호의 방향이 변하지 않습니다 이 부등식에서 말이죠 식을 다시 써 보면 4p 제곱 빼기 17p 더하기 4는 0보다 크다 입니다 이제 봅시다 근이 뭘까요? 근의 공식을 사용하면 빨리 답을 구할 수 있습니다 아마 다르게 풀 수도 있습니다 그런데 마이너스 b에서 17 플러스 마이너스가 되고 루트 마이너스 17제곱은 b제곱이고 289 마이너스 4ac가 됩니다 a곱하기 c는 16곱하기 4가 되니까 마이너스 64가 됩니다 분모는 2곱하기 a, 8이 됩니다 정리하면 17 플러스 또는 마이너스 루트 225에 분모 8 이건 8분의 17 플러스 15가 되고 8분의 17 마이너스 15는 8분의 2 또는 4분의 1이 됩니다 한 근을 구했습니다 마이너스일 경우의 근이죠 17에 15를 더한다면 32를 8로 나눈 4가 됩니다 이제 두 가지 경우가 생깁니다 나누어봅시다 p-1/4 곱하기 p-4는 0보다 크다고 적을 수 있습니다 어떤 경우에 참이 될까요? 어떤 조건에서 참이 될까요? 만일 두 항을 생각한다면 두 항의 곱이 0보다 크려면 두 항이 같은 부호를 가져야 합니다 특히 둘 다 양이 되거나 둘 다 음이 되어야 합니다 그래서 두 경우 모두 봅시다 색깔을 바꿔보죠 둘 다 양 혹은 둘 다 음 만약 둘 다 양이라면 p 빼기 1/4은 0보다 크고 p빼기 4 역시 0보다 커야 합니다 양 변에 1/4을 더하세요 p가 1/4보다 크고 p가 4보다 크다고 나옵니다 두 항이 양인 경우 이런 결과가 나옵니다 두 항이 모두 음이면 어떨까요? p 빼기 1/4이 0보다 작고, p빼기 4는 0보다 작습니다 1/4을 여기 더하세요 p는 1/4보다 작아야하고 4보다도 작아야합니다 이 조건을 어떻게 간단히 할까요? p는 1/4보다 커야하고 4보다도 커야 합니다 p가 4보다 크다면 분명히 1/4보다 클 것입니다 따라서 p는 4보다 커야합니다 두 항이 양일 때의 결과입니다 p는 4보다 커야합니다 그럼 여기는 어떨까요? p가 1/4보다 작으면 분명 4보다 작을 것입니다 둘 다 만족해야하므로 p는 1/4보다 작아야 합니다 그럼 p가 4보다 커야한다는 것과 1/4보다 작다는 것 중 어느 것이 답일까요? 다시 되새길 필요가 있습니다 확률에 관한 문제라는 사실 말이죠 원래 문제로 다시 돌아가면 확률에 관한 문제였습니다 한 번에 '허니 버니'를 얻는 확률 말이죠 확률은 반드시 0과 1사이어야 합니다 그래서 확률이 4보다 크다는 것은 전혀 말이 안되는 것이죠 그 것은 이 문제에서 전혀 말이 안됩니다 그래서 '허니 버니'를 얻을 확률은 1/4 또는 0.25 보다 작아야 합니다 이건 이치에 맞습니다 그럼 빈칸을 채워볼까요 이 것은 이 문제에 맞는 부등식입니다 그리고 p는 1/4보다 작아야 합니다 다시 본 문제로 돌아갑시다 1-p제곱의 부등식은 2와 1/4보다 커야 합니다 여러번 적을 수 있습니다 2와 1/4을 2.25 곱하기 p로 적겠습니다 그러면 '허니 버니'를 한 번에 얻을 확률이 0.25보다 반드시 적어야 합니다 다 했습니다