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여러분에게 갑자기 1달러가 필요하다고 가정합시다 여러분은 저에게 와서 1달러를 1년간 빌려달라고 했습니다 저는 흔쾌히 당신에게 1달러를 빌려주었고 1년 동안의 총 이자율은 100퍼센트라고 알려주었습니다 여러분은 제게 얼마를 주어야 할까요? 여러분은 제게서 빌린 원금에 추가로 100퍼센트에 해당하는 양을 더 주어야 합니다 즉 원래 금액에 1달러를 추가한 2달러를 주어야 하는 것입니다 이는 원금의 2배에 해당하는 큰 금액입니다 그러나 돈을 1년 후가 아닌 6개월만에 갚았다고 가정할 경우 지불해야 할 금액은 어떻게 바뀔까요? 단순히 생각하여 기간이 반으로 줄었으니 이자도 절반으로 줄어야 한다고 생각할 수 있습니다 1달러를 빌렸으니 6개월 뒤의 이자는 원금의 50퍼센트입니다 반면 전의 경우는 빌린 기간이 1년이었습니다 여러분은 우선 빌린 원금을 갚아야 할 것입니다 여기에 1달러의 50퍼센트를 계산하면 0.5달러니 총 합은 1.5달러입니다 즉 1년만에 갚았을 때보다 더 적은 돈을 지불해도 되는 것입니다 그러나 기간이 되었지만 돈이 없다면 어떻게 될까요? 사실 완전히 갚는 데 1년이 필요하다고 합시다 이를 대비해 고안한 방법이 있습니다 저는 여러분이 돈이 없다는 것을 감안하여 갚아야 할 돈 1.5달러를 다시 6개월간 빌려주고 이를 갚을 시간 6개월을 더 주는 것이죠 대신 추가된 6개월 동안 기존과 같은 이자율 50퍼센트를 적용하기로 합니다 그러면 원금 1.5달러에 추가로 50%의 이자인 0.75 달러를 더해 총 2.25달러가 됩니다 다른 방법으로 계산하자면 첫 6개월 간 불어난 돈은 원금 1달러에 1.5를 곱하기만 해도 됩니다 다시 6개월이 지나면 여기에 한 번 더 1.5를 곱하면 됩니다 50%의 이자가 붙는다는 것은 원래 값의 1.5배로 불어났다는 것과 같은 뜻입니다 1에 1.5를 두 번 곱하면 원하는 답을 구할 수 있습니다 즉 2.25는 1에 1.5를 두 번 곱한 값과 같습니다 1.5를 두 번 곱한 것은 1.5를 제곱하는 것과 같은 의미입니다 처음의 경우도 같은 방법을 쓸 수 있습니다 100퍼센트를 증가시키는 것은 2를 곱하는 것과 같습니다 이를 수식으로 표현해 보겠습니다 처음에 돈이 1달러였으므로 1에 2를 한 번 곱하면 원하는 답을 얻을 수 있습니다 이번에는 이자가 한 번만 붙는다는 점을 유의합시다 왜 2를 곱하기만 해도 될까요? 이자를 100% 내야 한다는 것은 주어진 기간 동안 원금에 추가로 100%의 이자를 내는 것이므로 내야 할 돈의 합계는 원래 빌린 돈의 2배가 되는 것입니다 일정 주기마다 50퍼센트의 이자를 내야 한다면 처음 빌린 돈의 원금과 50%의 이자만큼 갚아야 하므로 빌린 돈의 1.5배가 됩니다 단순히 매 주기마다 1.5를 곱하기만 하면 됩니다 갚아야 할 금액이 원금과 무슨 관련이 있는지를 확인하기 위해 다른 관점에서 문제를 봅시다 처음의 경우 1년의 주기 동안 원금에 추가로 이자 100퍼센트를 더한 만큼 돈이 불었습니다 조금 억지스럽지만 이를 다음과 같이 표기합시다 이 방법을 응용해 다른 경우에도 적용해 볼 수 있습니다 두 번째 경우, 100%의 이자율을 반으로 나눠 50%로 만들었습니다 대신 이자가 붙는 주기가 6개월로 짧아져 이자가 2번 붙게 됩니다 원금 1에 이자를 50% 붙였으니 1.5를 곱하는 것과 같으며 이자를 2번 붙이므로 제곱을 해 줍니다 이를 주황색으로 표시하겠습니다 이제 여러분은 규칙성을 찾을 수 있을 것입니다 처음의 경우 갚아야 할 금액이 2달러인 반면 두 번째 경우 2.25달러로 늘었습니다 만약 1개월 주기로 12회 이자를 붙이면 어떻게 될까요? 이 경우에 불어난 금액을 계산해 봅시다 1달이 지날 때마다 100퍼센트를 12로 나눈 8과 1/3 퍼센트에 해당하는 만큼의 이자가 붙을 것입니다 원금에 이자 8과 1/3 퍼센트를 추가로 내는 것은 1.08333... 을 곱하는 것과 같습니다 즉 매 달 갚을 금액이 1.08333...배로 증가합니다 1년의 12분의 2 정도쯤 되는 두 달이 지났다고 가정해 봅시다 이자가 붙는 주기가 2번 지났으므로 첫 달에 불어난 금액에 한 번 더 1.08333...을 곱해야 합니다 즉 지금까지 1.08333...을 제곱한 만큼 돈이 불었습니다 이제 12달이 전부 지났다고 생각해 봅시다 이미 두 달어치는 계산했으니 10달치 이자만 추가로 붙이면 될 것입니다 돈을 계속 갚을 수 없어 1년이 지났을 때의 금액은 얼마일까요? 물론 매 달 이자를 추가로 붙였다고 가정했을 때입니다 첫 달에는 1.08333...을 1번 곱한 것이 총 갚을 금액이었고, 2번째 달에는 1.08333...을 제곱한 것이 갚을 금액이었습니다 그러므로 12달이 지나면 이를 12제곱해야 할 것입니다 이자가 8과 1/3 퍼센트씩 12번 붙었으므로 이를 이전과 같은 방법으로 식으로 표기해 봅시다 이전의 규칙성에 의해 원금에 추가로 100퍼센트를 12로 나눈 값을 이자로 덧붙입니다 이제 이자가 12번 붙었으므로 이 식을 12번 곱해 주어야 합니다 즉 이 값을 12제곱하면 될 것입니다 이를 계산하면 총 얼마가 될까요? 이 값을 계산기에 대입해 봅시다 과연 어떤 값을 얻을 수 있을까요? 여러 방법으로 계산할 수 있겠지만 1.08333...을 계속 곱하는 방법으로 계산해 보겠습니다 다른 방법으로 해도 같은 결과를 얻을 수 있지만 앞서 칠판에 이를 표기한 식을 이미 적었기 때문에 이를 그대로 계산기에 입력해 보겠습니다 100퍼센트는 1과 같음에 유의합시다 1을 12로 나눈 값을 더하고 12승을 취할 경우 약 2.613입니다 이제 빚 문제 같은 세부적 설정은 건너뛰고 만약 이러한 계산을 계속한다면 어떻게 될지에 대해 생각해봅시다 맨 처음에는 1년만에 100퍼센트의 이자가 붙었습니다 반면 두번째 경우 6개월만에 50퍼센트의 이자가 붙었습니다 마지막 경우 8과 1/3 퍼센트씩의 이자가 매달 붙어 다음과 같은 값을 얻었습니다 그럼 이자를 매일 붙이면 어떻게 될까요? 제가 1달러를 빌리고 매일 이자를 100/365 퍼센트씩 붙인다고 생각해 봅시다 그러므로 100/365 퍼센트의 이자가 365번 붙게 됩니다 이럴 경우 1년 후 최종 금액은 얼마일까요? 앞에서 만든 규칙을 여기에 그대로 적용합시다 앞의 규칙에 의하면 매일 원금 1에, 추가로 100을 365로 나눈 값을 이자로써 더해주어야 합니다 이 시행을 계속해 봅시다 매 주기마다 1에다 100/365 퍼센트를 더한 값을 곱하면 됩니다 즉 365승을 해주어야 합니다 어떤 값을 365번 곱하니 매우 큰 값이 나올 것 같지만, 100을 365로 나눈 값이 매우 작기 때문에 그렇게 커지지 않을 수도 있습니다 괄호 안 값은 사실 1에 가까운 수라고 봐도 무방합니다 1은 몇 제곱을 하든 그 값은 증가하지 않습니다 그럼 이 수는 어떨까요? 직접 확인해 봅시다 100퍼센트는 1과 같으므로 원금 1에 추가로 1을 365로 나눈 값을 더합니다 이 값을 365번 곱해주면 최종 값은 2.71456입니다 이 값은 대략 2.7 정도라고 할 수 있습니다 실제로는 이 값은 소숫점 아래에 2.7145675...로 수가 계속하여 등장합니다 이 결론은 매우 인상적입니다 점점 큰 수를 대입하고 있음에도 최종 결과는 매우 큰 수가 되기보다는 어떠한 특정 값에 수렴하는 경향을 보입니다 100퍼센트를 점점 더 큰 수로 나누고 그 수를 지수에 취해줄 경우 얻게 되는 계산 결과는 흔히 가장 신비로운 수라고 불리는 e라는 값이 됩니다 계산기를 살펴보면 e의 x승 버튼이 있습니다 e의 값을 나타내기 위해 e의 1승을 입력해보겠습니다 사실 앞에서 365를 대입해 계산한 값을 보면 실제 e의 값과 매우 유사합니다 직접 더 큰 수를 대입하여 계산해 보십시오 이 마법의 수에 점점 가까워질 것입니다 이 수는 너무나도 아름다워서 기쁜 마음으로 e달러를 내고 싶어질 지경입니다