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주요 내용
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로그 밑변환 공식의 사용

동영상 대본

편집자 주 : (밑이 a이고 진수가 b인 로그를 log (a) b로 나타내도록 하겠습니다) 여기에 2개의 로그값이 있습니다 하나는 노란색, 그리고 하나는 분홍색으로 표시되어 있습니다 여러분 잠시 영상을 멈추고 이 수들을 더욱 쉬운 로그 표현으로 나타내어 보세요 모르겠다면, 힌트를 드리겠습니다 만약에 어떻게 로그의 밑을 바꿀 수 있는지에 대해 알거나 로그 표현에 대해서 알고 있다면 바꾸는 것이 더 간단할 것입니다 더 좋은 힌트를 드리겠습니다 로그의 밑에 대해 이야기하고 있는데 로그의 밑에다가는 다른 색으로 표시해보도록 하겠습니다 a를 밑으로 한 log (a) b는 이렇게도 나타낼 수 있습니다 log B가 분자에 있고 분모에는 log A가 있습니다 하지만, 지금 로그의 진수는 썼지만 밑은 쓰지 않았습니다 그런데, 어떤 밑을 고르던지 분자와 분모가 같은 밑을 가진다면 상관은 없습니다 밑이 9이려면, 분모와 분자가 모두 밑이 9이어야만 합니다 보통, 사람들은 밑으로 10을 선택합니다 10은 가장 많이 쓰이는 밑 중 하나입니다 그것은 많은 계산기들이나 사람들이 10이 밑인 로그표를 가지고 있기 때문입니다 그래서 a를 거듭제곱해서 b가 되는데 필요한 지수가 10을 거듭제곱해서 b가 되는데 필요한 지수를 10을 거듭제곱해서 a가 되는데 필요한 지수로 나눈 것과 같습니다 이것은 앞으로 로그를 다룰 때에 매우 유용하게 쓰입니다 우리는 이것을 다른 영상에서 증명했습니다 이것을 적용하여 봅시다 이제 노란색 로그로 돌아가겠습니다 이것도 비슷해 보입니다 1이 로그로 나누어져 있습니다 밑에다가 다시 써 보도록 하겠습니다 분자 1은 분모 log (b) 4로 나누어집니다 아까 말했던 것을 통해 다시 써보도록 하겠습니다 그래서 이것은 분자 1을 log (b) 4로 나눈 것과 같습니다 log (b) 4를 이렇게 나타낼 수 있습니다 그리고 밑을 쓰지 않는다면 밑이 10인 것으로 짐작할 수 있습니다 log 4가 분자이고 log b가 분모가 됩니다 1을 분수로 또는 유리식으로 나누면 그것은 역수를 곱하는 것과 같습니다 이것은 1에다가 역수를 곱한 것과 같아집니다 분자가 log b이고 분모가 log 4인 분수입니다 이것은 분자가 log b이고 분모가 log 4인 분수가 되겠네요 1에다가 곱했기 때문입니다 이것을 다른 방법으로 나타낼 수 있겠네요 시작할 때에 만든 식을 사용한다면 말이지요 이것은 log (4) b 와 같습니다 간단한 식으로 나타내어졌네요 log (4) b라는 식으로 말이지요 일반화된 B가 있음에도 그 어떤 값을 넣어서 증명해보지 않았습니다 만약에 이 로그 표현에 역수를 취하게 된다면 밑을 교대하면 됩니다 여기에는 b가 밑으로 있는데 b를 4로 만들기 위해서 필요한 지수는 무엇일까요? 그리고, 여기에서 물어보는 것은 4를 b로 만드는 데에 필요한 지수가 무엇인지입니다 아직은 실제 값을 넣지 않았기 때문에 마치 마술 같을 것입니다 4의 거듭제곱을 넣는다면 이해가 되기 시작할 것입니다 예를 들어, 4의 세제곱은 64입니다 밑 b에다가 64를 넣으면 이 값은 3이 되겠지요 그렇다면, 바꾸기 전의 식에 대입해서 log (64) 4를 계산해 봅시다 64를 4로 만들기 위해서는 지수는 1/3이 필요합니다 이제, 서로가 역수임을 알 수 있을 것입니다 절대 마술 같은 일이 아닙니다 단지 모든 수가 b에 들어갈 수 있을 뿐입니다 이제 분홍색 식으로 넘어가도록 하겠습니다 log (c) 16과 log (2) c 가 곱해져 있습니다 그렇다면 이것도 분수의 형식으로 나타내봅시다 밑이 10인 로그로 나타내어봅시다 첫번째 수는 이렇게 쓸 수 있습니다 밑이 10인 log 16이 분자이고 밑을 적지 않을 때에는 10으로 짐작할 수 있다고 했습니다 그리고 분모에는 log c가 오겠네요 그리고, 이것을 뒤에 수와 곱해야 합니다 뒤의 수는 이렇게 나타낼 수 있겠네요 log (10) c log c가 분자이고 분모에는 log (10) 2 log 2가 옵니다 좀 더 편하게 보기 위해서 밑인 10을 적도록 하겠습니다 굳이 10을 적을 필요는 없습니다 분자에도 log c가 있고 분모에도 log c가 있습니다 밑도 10으로 같습니다 약분한다면 분자에는 log 16 log (10) 16이 있고 분모에는 log (10) 2가 오겠네요 이제 이것을 다른 방법으로 나타내어 보겠습니다 이것을 로그값 하나로 나타내면 밑이 2이고, 진수가 16인 log (2) 16이 됩니다 아직 끝나지 않았습니다 2를 16으로 만들려면 필요한 지수는 무엇일까요? 16은 2를 4제곱하면 얻을 수 있습니다 2를 4제곱해서 16을 얻을 수 있습니다 정말 멋지게 나타내었습니다 시작할 때에는 변수 c를 가지고 시작했지만 추상적인 수를 처리해야 하는 것처럼 보입니다 하지만, 이 수를 위와 같은 표현들을 통해서 4로 나타낼 수 있습니다 사실 수학에서 이런 상수들을 잘 찾아낸다면 이것은 4라는 값이 나온다는 좋은 증거가 됩니다 이렇게 계산하기까지 많은 과정들이 필요합니다 꽤나 멋집니다