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로그 계산하기: 밑변환 공식

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log(5)100(밑 5, 진수 100)을 밑변환공식을 이용해 소수점 셋째 자리까지 구하시오 앞으로 밑 a, 진수 x인 log 값은 log(a)x로 통용하겠습니다 밑변환공식은 당신이 계산기를 사용할 때 유용한 공식입니다 왜냐하면 대부분의 계산기는 로그의 밑을 변환하는 기능이 없기 때문이죠 자연로그, 즉 e를 밑으로 하는 로그를 계산하는 기능은 있습니다 10을 밑으로 하는 로그, 상용로그도 있죠 하지만 이외의 경우는 없기 때문에 log식을 위 두가지 경우로 변환 시켜 밑을 일반적인 경우로 바꿔야 합니다 이것이 밑변환공식입니다 시간이 충분하다면 이것이 어떻게 가능한지 이것을 어떻게 유도할 수 있는지 설명해드리겠습니다 밑변환공식에 따르면 log(a)b는 log(x)b/log(x)a 가됩니다 따라서 이것은 밑을 변환할 때 유용하게 사용될 수 있습니다 밑이 a인 이 로그 값을 밑이 x인 것으로 바꿔봅시다 만약 계산기에 특정 x를 밑으로 하는 기능이 있다면 이 밑을 e나 10으로 변환할 수 있을 것입니다 밑이 10인 것이 더 쉽겠네요 또한, 일반적으로 이러한 형식의 로그 식을 쓴다면 (단순히 log x라고만 쓴다면) 이것은 밑을 10으로 하는 로그를 의미합니다 그리고 누군가가 x의 자연로그(ln x)를 쓴다면 이는 e를 밑으로 하는 로그를 의미합니다 이 때 e는 2.71...꼴의 무리수입니다 자 그럼, 이 공식을 문제에 대입합시다 log(5)100이 있습니다 밑변환공식은 우리에게 이 식은 x=10이라고 놓을 때, log(10)100/log(10)5 와 완전히 같음을 알려줍니다 사실 이 부분(분자)을 계산하기 위해서는 계산기를 쓸 필요도 없습니다 로그 100, 10의 몇 제곱이 100이지요? 2제곱입니다 그래서 이 분자는 단순히 2와 같습니다 따라서 log(10)100=2로 간단하게 바뀝니다 또한 우리는 이제 계산기를 사용할 수 있습니다 밑이 10이기 때문이죠 자, 그럼 이제 계산기를 꺼내봅니다 우리가 이제 원하는 것은, --기록 삭제를 좀 하죠-- 잠시 짚고 넘어가자면, 단순히 log만을 쓴 것은 밑이 10인 log 값을 의미합니다 그리고 ln을 쓰는 것은 밑이 e인 log 값을 의미합니다 그래서 아무런 정보 없이 로그를 쓴다면 밑이 10인 것을 의미합니다 원점으로 돌아와서, 2/log 5는 소수점 셋째 자리에서 반올림하면 2.861이 됩니다 그래서 분모는 약 2.861이 됩니다 이게 맞는 값인지 직관적으로 확인을 해 볼까요? 5의 몇제곱을 해서 100을 만들어야 하는데 5의 제곱은 25이고, 5의 세제곱은 125이므로 구하고자하는 값은 2와 사이에 있지만 2보다 3쪽, 다시 말해서 세제곱에 조금 더 가까워야겠죠 이것보다 좀 더 제대로 확인 해 봅시다 우리가 계산한 값을 역으로 대입해 볼까요? 5를 밑으로 하고 지수를 2.861으로 한다면 (소수점 셋째 자리까지의 값만 넣어보도록 하겠습니다) 무슨 값을 얻게 되죠? 약 99.95를 얻게 됩니다. 우리는 정확한 값을 넣지 않았으므로 모든 자리수를 제대로 넣는다면 100과 상당히 가까워질 것입니다 그럼 계산이 제대로 된 것임을 알 수 있겠죠? 이 수를 밑을 5로 하는 log 값의 진수로 대입하면 약 100이 나오니까요 이제 문제는 해결되었습니다 그럼 이제 애초에 이 것이 왜 말이 되는 식인지 생각해보도록 합시다 log(a)b를 써봅시다 이 것이 특정한 수, c와 같다면, log(a)b=c라면 이것은 a의 c제곱이 b가 됨을 의미합니다 이것은 지수적인 표현이고 이것은 로그적인 표현입니다 이제 우리는 양변에 log를 취할 수 있습니다 무엇을 하던, 예를 들어 좌변에 10을 밑으로 하는 log를 씌우면 우변에 10을 밑으로 하는 log를 씌운 값과 같을 것입니다 왜냐하면 이 두 식이 서로 등식이기 때문입니다 그렇다면 양 쪽에 로그를 씌워 봅시다 같은 밑을 가지는 로그입니다 일반적인 상황에 대한 증명을 하기 위해 x를 밑으로 잡겠습니다 좌변은 a의 c제곱에 log(x)를 취한 것이고요 (색깔로 구분하겠습니다) 우변은 log(x) b와 같습니다 여기는 주황색으로 쓰겠습니다 우리가 로그의 성질로부터 알아낼 수 있는 것들이 있습니다: log a의 c제곱은 c 곱하기 log a 와 같다는 것이죠 이것은 밑과 전혀 상관 없습니다 또한 이것은 당연히 log(x)b와 같을 것입니다 여기에 b를 쓰겠습니다 c에 대한 식으로 풀고 싶다면 양쪽을 x를 밑으로 하는 로그 a로 나누면 됩니다 그러면 c는 x를 밑으로 하는 로그 a 분에 x를 밑으로 하는 로그 b임을 알 수 있습니다 이것은 c가 무엇이였는지었습니다 c는 a를 밑으로 하는 로그 b였습니다 이것은 로그 a 분에 로그 b인 것입니다 (원래 색을 쓰도록 하죠) (그럼 원래 무엇을 하던 것인지 잘 알 수 있겠죠?) 무엇을 하고 있는지 잘 아시리라 믿지만 색으로 확실히 구분해봅시다 c의 분자는 x를 밑으로 하는 로그 b ---스크롤을 좀 내려볼까요--- 분모는 x 를 밑으로 하는 로그 a입니다 여기서 알 수 있듯이 이것 역시 c와 같습니다 이렇게 정의할 수 있겠죠 복사 붙여넣기 하겠습니다 이것은 역시 c와 같습니다 그럼 끝났습니다 우리는 밑 변화 공식을 증명했습니다 log(a)b는 log(x)a분에 log(x)b입니다 그리고 이 예제는 a가 5, b가 100인 예제였습니다 밑을 10으로 바꾸어보죠