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주요 내용
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동영상 대본

입자들의 위치를 시간에 대한 함수로 나타낸 식이 여기 이렇게 표현된 식이라고 해봅시다 마이너스 d의 -t제곱 더하기 c의 4제곱을 c 제곱 더하기 1로 나누는 식입니다 단, c와 d는 1보다 큽니다 그래서 우리가 이번 영상 수업을 통해 하고 싶은 것은 여기 있는 이 표현과 이 함수의 정의에 기반해서 무엇을 유추할 수 있는지 보는 것입니다 그리고, 첫 번째로 여러분이 생각해봤으면 하는건 무엇이 초기 위치라는 것입니다 만약 제가 초기 위치를 나타내려했다면 c와 d에 대해서 간단하게 표현했을겁니다 자 그럼 이 비디오를 중지하고 초기 위치에 대한 표현을 찾아보세요 사실, 초기 위치란 시간이 0일 때의 위치입니다 그래서 근본적으로는 t가 0일 때 p의 값을 찾는 것입니다 그리고 p(0)은 p(0)는... 마이너스 d의 마이너스 0 제곱 이걸 써야겠죠. 마이너스 0 더하기 c 4제곱을.. c 4제곱을 더하고.. c 제곱 더하기 1로 나눕시다 사실, d의 마이너스 0 제곱은 d의 0제곱과 같고 그리고 우리는 d가 0이 아님을 알기 때문에 우리는 이것이 정의됨을 압니다 0이 아닌 임의의 수에 0제곱은 1이 될 것입니다 0인 수는 사실 좀 더 논의가 필요합니다 무엇이 0에 0 제곱인지 말입니다 그러나 우리는 안전하게 여기 있는 것이 1과 같은 것이라고 말할 수 있습니다 그래서 분자는 2개로 간단히 나타내어집니다 이건 뭐하고 같냐면 -- 일단 순서를 바꿉시다 c 제곱 더하기 1 분의 c 4제곱 빼기 1 과 같습니다 그리고 이제 이것이 제곱들의 차임이 분명합니다 이것은 c제곱의 제곱 뺴기.. 뺴기 1 제곱을 c제곱 더하기 1로 나눈 것입니다 그리고 이건 c제곱 더하기 1 곱하기 c제곱 빼기 1이고 이 모든 것을 c제곱 더하기 1로 나눕니다 그리고 c제곱 더하기 1이 분자와 분모에 있기때문에 우리는 이것을 약분할 수 있습니다 그래서 구할려는 초기 위치는 c제곱 뺴기 1이 됩니다 꽤 이쁘게 결과가 나왔습니다 자, 이제 여러분에 제가 묻고 싶은 다음 질문은-- 그래, 우리는 시간이 0일때 위치를 알고있고, 입자의 위치는 c제곱 빼기 1 가 될 것입니다 그러면 그 다음에는 어떻게 되겠습니까? 계속 위치값이 증가합니까? 계속 위치값이 감소합니까? 아니면 계속 왔다갔다 하는 것처럼 증가했다가 감소하거나 감소했다가 증가합니까? 그래서 전 이 동영상을 중지하고 생각하는 것을 권합니다 위치가 어떻게 변하는지에 관해서 말입니다 계속 증가합니까? 계속 감소합니까? 아니면 다른 무언가가 일어납니까? 자, 이제 초기 위치 후에 위치가 어떻게 변하는지 대한 질문에 답을 해봅시다 사실 우리는 여기 있는 항.. 이 항에 집중해야합니다 이 d의 마이너스 t제곱 말입니다 이 항이 t가 실제로 영향을 주는 유일한 부분입니다 다른 모든 것들은 시간에 따라 일정합니다 그러면 d의 마이너스 t 제곱, 즉, 이 첫 항의 이 부분이 t가 0에서 증가함에따라 어떻게 변화할까요 이 문제에 대해 생각하기위해, 그래프를 그립시다 d의 마이너스 t라는 함수의 그래프가 어떨지 그려봅시다 d의 마이너스 t제곱은.. 아마도.. 우리는 d가 1보다 큰 것을 알고 있습니다.. 그래서 t가 0일때는.. t는 여기에 있고요.. 우리는 이 축에 위치를 표시할겁니다 d의 마이너스 t의 그래프 개형을 그릴겁니다 t가 0일떄는 1과 같습니다 이미 이 사실을 알고있죠 그럼 t가 증가할땐 어떻게 될까요? t가 1로 증가했다고 가정합시다... 그럼 이 값은 d의 마이너스 1 제곱이 될거고 이건 d분의 1과 같은 값입니다 그리고 우리는 d의 정확한 값을 모릅니다 그러나 우리는 d가 1보다 크기 때문에 d분의 1이 1보다 작을 것이라고 알고있습니다 그래서 여기 d분의 1로 표시를 해줍시다 d분의 1 그래서 뭐 이런식으로 될 것입니다 그리고 t가 2일 경우에는 d 제곱 분의 1이 될것이고 이건 여기.. 여기 이렇게 표시 될것입니다 적어도 여러분은 이 항이 t가 증가함에 따라 어떻게 되는지 알 수 있을 것입니다 t가 증가함에 따라 d의 마이너스 t는 엄밀하게 감소합니다.. 엄밀하게 감소합니다.. 그리고 다시 한 번 d가 1보다 크기 때문에 여기 있는 이 항은 엄밀하게 감소합니다 그래서 이건 감소합니다, 이 부분말이죠 그러나 우리는 이 부분을 더하지 않습니다 우리는 이걸 뺍니다 우리는 처음부터 이부분을 뺍니다 처음에는 이 부분은 1부터 시작합니다 우리는 1을 뻅니다 그리고 우리는 1보다 더 작은 값들을 빼기 시작합니다 그래서 만약 이것이 감소하고 있다면 우리는 이것을 뺴기 때문에 더 작은 것을 뺴는 것입니다 그래서 이 전체 값, 즉 이것의 음수 값은 증가하게 됩니다.. 증가합니다 다른 방식으로 생각해봅시다 만약 우리가 마이너스 d의 마이너스 t의 그래프 개형을 그리고 싶다면 그것은 이렇게 될 것입니다 그것은 단지 여기 있는 것의 마이너스 값이 됩니다 그래서 이건 이렇게 생길것입니다 -- 노란색으로 그립시다. 이렇게 생길 것입니다-- 그래서 여기 있는 모든 항은 마이너스 d의 마이너스 t제곱은 일정하게 증가합니다-- 그리고 우리는 이 다른 것들이.. ..이 다른 것들이 일정한 값을 가질 것을 알고 있습니다 그래서 이 식은 t가 0에서부터 시작하면서 일정한 증가가 시작됩니다 그리고 t가 점점더 큰 값을 가지게 됩니다 이제 제가 여러분에 묻고 싶은 마지막 질문입니다 여기서 최대 값은 무엇일까요? 어떤 값이 이 함수가 절대 도달할 수 없는 값일까요? 아마 이건 그 값에 가까이 갈 수는 있지만 도달 할 수는 없을 것입니다 사실, 우린 이미 이게 증가한다는 것을 알고 있습니다 그러나 진짜 무슨일이 일어날지 생각해봅시다 t가 진짜로 큰 수가 되었을 때 어떻게 될지 말입니다 실제로 여러분은 t가 무한대로 접근할 떄 이 식에 대해 생각해볼 수 있습니다 자 그럼, 다시 한번 d의 마이너스 t제곱을 봅시다 여러분은 d의 마이너스 t제곱이 t가 증가함에 따라 작아진다는 것을 볼 수 있습니다 여기 있는 이 항은 t가 무한대로 접근할 때 0으로 접근합니다-- 그럼, 만약 이것이 0으로 접근한다면 이는 0을 빼는 것을 의미합니다 그래서 이 노란색 표시 한 것이 마이너스 d의 마이너스 t제곱이 증가하는데 이것은 점점 느린 비율로 증가합니다 그래서 이것은 마이너스 d의 마이너스 t 제곱입니다 이건 여기 있습니다 여러분은 이게 증가한다는 것을 볼 수 있습니다 그러나 이 수평선에는 도달하지 못합니다-- 그래서 만약 이게 t가 무한대로 접근할 때 이 모든 것은 0이 되어버리고 이 식이 나타내는 모든 위치는 c제곱 더하기 1 분의 c의 4제곱에 접근하나 도달하지 못한다는 것을 알 수 있습니다 그래서 이것에 대해 생각하는 한 방법으로 이건 접근은 가능하나 c제곱 더하기 1분의 c 4제곱에 도달하지 못한다고 생각하는 방법이 있다