지수를 사용한 실생활 문제에서 변화율 해석하기

제가 스크린샷을 몇 개 가져왔습니다 칸 아카데미 활동인 "지수적 변화 모델에서의 변화율 해석" 에서 가져온 것입니다. 아마 제목을 바꿔야 할 것 같습니다 너무 길어 보이네요 어쨌든 이 문제를 함께 풀어봅시다 봄의 첫날에 들판 전체에서 꽃나무들이 꽃을 피웠습니다 이 꽃을 먹어치우는 메뚜기의 수는 나무들이 꽃을 피울수록 급격히 증가합니다 봄의 시작으로부터 경과한 일수 t와 메뚜기의 총 마리 수 L(t) 이걸 보면 메뚜기의 수는 봄의 시작으로부터 지난 일수의 함수라는 것을 알 수 있습니다 그래서 L(t)는 다음과 같은 함수로 나타내어집니다 시간에 따른 메뚜기 수의 함수는 750 곱하기 1.85의 t제곱입니다 하루 동안의 메뚜기 수의 증가량에 대한 아래의 문장을 완성하세요 매일 메뚜기의 수는 그럼 매일 어떤 일이 일어나는지 생각해 봅시다 표를 그려보겠습니다 이 문제를 좀 더 깔끔하게 나타내기 위해서요 여기 표를 그렸습니다 t와 L(t)를 적읍시다 t가 0이면, 그래서 0일이 지났을 때 이 항은 1.85의 0제곱이 되겠네요 그 값은 1입니다 그럼 메뚜기 수는 750마리가 되겠네요 그리고 t가 1이면 어떤 일이 일어날까요? 그럼 L(t)는 750 곱하기 1.85의 1제곱이 됩니다 그럼 1.85를 곱하면 되겠네요 t가 2가 되면 L(t)는 무엇일까요? 그 값은 750 곱하기 1.85의 제곱입니다 1.85의 제곱은 1.85 곱하기 1.85와 같네요 그럼 봅시다 이 L(t) 식은 지수함수라는 것을 알 수 있고요 메뚜기는 매일 전날에 비해 1.85배로 늘어나게 됩니다 1.85 우리는 반드시 전날의 값을 가져다가 1.85를 곱해야 합니다 그리고 1.85가 1보다 크므로 메뚜기의 수는 증가하게 됩니다 그래서 여기 답은 'grow'가 되겠고요 제가 지금 웹사이트에 접속해 있지 않기 때문에 직접 적지만 원래는 여기 메뉴가 나옵니다 다음으로 가보자면 메뚜기 수는 증가하게 됩니다 1.85의 비율로 말입니다 다른 문제도 풀어보도록 합시다 좋습니다 이 문제를 보자면 Vera는 생태학자입니다 시간에 따른 시베리아의 곰 개체수의 변화율에 대해 연구하고 있습니다 Vera가 곰 개체수를 연구하기 시작했을 때부터 지금까지 경과한 년수를 t라고 합니다 그리고 곰의 총 개체수를 N(t)라고 하고 N(t)는 아래의 함수를 따릅니다 좋습니다 이 식에 지수항이 포함되어 있네요 매년 곰 개체수의 변화율에 대한 아래의 문장을 완성하세요 한 번 해봅시다 매년, t는 년수를 나타냅니다 매 1년이 지날 때마다 전 년의 2/3배가 됩니다 아까 그렸던 것과 같은 표를 그려보도록 합시다 더 깔끔하게 표현할 수 있도록 말입니다 어이쿠 해 보도록 하죠 여기 표가 있습니다 t를 쓰고 N(t)를 씁시다 t가 0이면 N(t)는 2187이 됩니다 이것이 그녀가 곰 개체수에 대한 연구를 시작한 첫 해이고요 Vera가 연구를 시작한지 0년 이후입니다 첫 해에는 2187에 2/3의 1제곱을 하면 그래서 곱하기 2/3를 합니다 두 번째 해에는 2187에 곱하기 2/3의 제곱을 합니다 그럼 곱하기 2/3 곱하기 2/3이 됩니다 그래서 이어지는 해에는 그 전년도 개체수의 2/3배가 됩니다 여러분은 전년도것의 2/3배를 하면 됩니다 그래서 매년 곰의 개체수는 줄어들고 줄어드는 비율은 2/3씩입니다 좋습니다 다른 문제를 하나 더 해봅시다 문제를 보면 Akiba가 공부를 시작했습니다 시간에 따라서 그의 나무의 가지 수가 어떻게 변하는지에 대해서 말입니다 좋습니다 Akiba가 그의 나무를 연구하기 시작했을 때부터 경과한 년수를 t라고 하고 나뭇가지의 총 수를 N(t)라고 하며 아래 함수로 나타내어집니다 매년 나뭇가지 수의 변화 퍼센트에 관한 아래 문장을 완성하세요 매년, 빈칸 퍼센트의 가지수들이 총 가지수에서 더해지거나 빼집니다 그럼 또 다른 표를 그려보도록 합시다 비록 여러분은 익숙해졌어도 말이에요 그저 위의 식을 보고 오, 매년 가지 수가 작년 가지수의 1.75배가 되겠구나 라고 생각하는 데에 말입니다 그래서 우리는 가지 수가 작년의 1.75배라는 것을 알고 그것은 75% 증가된 것입니다 그럼 제가 이걸 조금 더 명쾌하게 해 보도록 할게요 그래서 매년 75%의 가지가 총 가지 수에 더해지게 됩니다 다시 표를 그려보도록 할게요 저번 두 문제와 같이요 이 문제를 명확하게 바꾸기 위해서요 자, t를 쓰고 N(t)를 씁니다 t가 0이면 가지 수는 42입니다 t가 1이면 가지 수는 42 곱하기 1.75입니다 1.75를 곱합시다 t가 2이면 42에 1.75의 제곱을 곱합니다 42 곱하기 1.75 곱하기 1.75 그래서 매년 여러분은 1.75를 곱하게 됩니다 제 볼펜이 갑자기 잘 안 써지네요 여러분이 1.75를 곱하면 즉 1.75를 인자로 증가하게 되면 그것은 75%를 더하는 것과 같습니다 다시 한번, 75%를 더합니다 이렇게 생각해 봅시다 만약 1을 인자로 증가하게 되면 여러분은 아무것도 더하지 않아도 됩니다 일정하게 유지되죠 만약 10% 증가하게 되면 1.1배로 커지게 됩니다 만약 200%가 증가하면 값이 2배로 커지는 것이 됩니다 그래서 여기 있는 이건 여기 이게 잠시만요 여러분 제가 금방 실수를 한 것 같네요 만약 200%가 증가하게 되면 이전 값의 3배로 커지게 됩니다 원래 값은 그대로 있고 그 값에 다른 200%가 더해지게 되니까 전체 값은 3배가 되는 것입니다 여러분을 헷갈리게 하고 싶지 않습니다 제가 말을 끝낼 때 뭔가 이상하다는 것을 눈치챘습니다 끝입니다 여러분이 즐겁게 보셨길 바랍니다