유리식이 있는 방정식

여기에 식 하나가 있는데 유리식으로 이루어져 있습니다 잠깐 동영상을 멈추고 어떤 x의 값들이 이 식을 만족하는지 찾아봅시다 같이 풀어봅시다 처음 하고자 하는 것은 이 식을 간단화할 수 있는지 한번 보고 공통 인수를 찾는 것인데 분자와 분모 사이에 혹은 등호 양쪽에서 찾는 것입니다 분모와 분자를 인수분해해야 합니다 오른쪽의 분모와 분자는 이미 인수분해되어있습니다 분자를 보면 이 식을 다시 쓸 수 있습니다 곱하면 21이 나오는 수가 무엇입니까? 곱할 경우, 21이 나오는 두 수는 무엇입니까? +21이기에, 두 수는 같은 부호를 가질 것입니다 또한 이 두 수를 더하면, -10을 얻게 됩니다 -3과 -7이므로 이 식은 (x-3)(x-7)이라고 다시 쓸 수 있습니다 분모를 보면, 두 항은 3으로 나누어 떨어집니다 이 식을 3(x-4)로 다시 쓸 수 있습니다 이들은 이미 인수분해되어있으므로 가장 먼저 보이는 것이 (x-4)가 왼쪽 분모와 오른쪽 분모에 있는 것입니다 양변에 (x-4)를 곱하면 될 것입니다 그래서 이 식을 아래의 식으로 대체해봅시다 이 윗부분에서 더 가치 있는 식은 인수분해 된 식일지 아직 모르는 상태입니다 이 노란색 식으로 유지하겠습니다 확장된 형식으로 말입니다 잠깐 이 식을 지울 것인데 왜냐하면 양변을 (x-4)로 곱할 것이기 때문입니다 양변을 (x-4)로 곱한다면 다시 한번 묻자면, 왜 곱하는 것인가요? 양쪽 분모의 (x-4)를 소거하기 위해서입니다 (x-4), 그리고 (x-4). 이 식과 이 식은 소거되고 분자부분이 남았는데 즉 x^2-10x+21과 남았는데 이를 3으로 나누게 됩니다 3으로 나눈 값은 x-5와 같은 값을 가집니다 우리가 무엇을 할 수 있을지 본다면 실제로 전단계에서 할 수도 있는 일인데 양변에 3을 곱하는 것입니다 양변을 곱하겠습니다 다른 색으로 쓸 것인데 더 강조하기 위해서입니다 양변에 3을 곱할 수 있습니다 양변에 3을 곱하겠습니다 좌변을 보자면, 이 둘은 소거되고 x^2-10x+21만 남을 것이고 분모부분은 없을 것입니다 분모는 1이므로, 굳이 쓰지 않아도 될 것입니다 이 식은 세 번 곱해진 식과 같아질 것이므로 3을 분배합시다 3 곱하기 x는 3x입니다 3 곱하기 -5는 -15입니다 일반적인 2차식으로 바꿀 수 있는데 항들을 다 왼쪽으로 옮기면 됩니다 가장 좋은 방법은 우변에서 3x를 빼는 것인데 우변에서만 3x를 뺀다면 더이상 동일한 식이 되지 않으므로 뺄 수 없습니다 동일한 식이 되려면 양변에서 빼야 할 것입니다 -15를 없애고 싶다면 양변에 15를 더하면 되는 것입니다 그렇게 합시다 우리는 이것과 남는데, 약간 아래로 내리도록 합시다 공간의 확보를 위해서입니다 남은 식은 x의 제곱과 -13x 더하기 이것은, +36입니다 +36. 계산이 맞나요? +36은 이와 동일한데, 0과 동일하게 됩니다 이제 보자면, 우리는 이차식을 가지는데 일반적인 형식의 이차식입니다 이 식을 어떻게 푸는가요? 첫번째로 할 수 있는 일은 인수분해 하는 것입니다 두 수의 곱이 36입니다 두 수를 더한다면 -13이 됩니다 둘 다 음수가 될 것인데 왜냐하면 둘의 곱이 양수가 되기 위해서는 같은 부호를 가져야 하기 때문입니다 그리고, 생각해본다면 9와 4가 이를 만족할 것입니다 즉, -9와 -4 말입니다 그래서, (x-4)(x-9) 는 0과 같습니다 이 식은 다음과 같은 경우에 성립합니다 x-4=0이거나 x-9=0일 때 말입니다 이 식에서 양변에 4를 더합시다 즉 이 식은 x=4일 때 성립합니다 이 식에서 양변에 9를 더합시다 이 식은 x=9일 때 성립합니다 이 식의 해는 x=4 또는 x=9라고 할 수 있습니다 결국, x=4 또는 x=9입니다 조심해야 합니다 이 사실을 기억해야 하는데 처음 식에서 x-4는 두 분모의 인수입니다 우리가 실제로 원래 식의 x-4에 대입해 본다면 중간 과정들이 아니라 처음의 식에 대입해본다면 우변에서 0으로 나누게 될 것인데 실제로, 좌변에서도 0으로 나누게 될 것입니다 원래의 식에서, x에 4를 대입하게 된다면 말이 되지 않을 것입니다 즉 이 근은 무연근인 것입니다 원래 식의 근이 되지 않을 것입니다 유일한 해는 x=9가 될 것입니다