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연립이차방정식: 직선과 원

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연립방정식 y = x + 1 과 x^2 + y^2 = 25 의 해는 무엇인가 우선, 우리가 하려는 것이 무엇인지 그려봅시다 이 두 함수들을 간략히 그려보면 y축과 x축을 그리고 방정식 x^2 + y^2 = 25 는 원의 중심이 원점에 있고 반지름이 5인 원과 같습니다 이 문제를 풀기 위해 알 필요는 없지만 감을 잡는 것에 도움을 줍니다 그래서 이점은 5고 이 점도 5 이 점은 -5 이 점도 -5 입니다 그렇다면 이 방정식은 이러한 점들 이 방정식을 만족하는 점들로 이루어 집니다 그래서 이러한 점들로 최대한 완벽한 원을 그려봅니다 그리고 y = x + 1 은 경사가 1이고 y 절편이 1인 선입니다 1, 2, 3, 4 를 표시하면 그럼 y 절편이 여기 있고 기울기가 1이므로 이러한 모습을 하게 됩니다 그래서 이 문제를 풀기 위해서는 이 두 함수들을 모두 만족하는 점을 찾아야 합니다 그러한 점은 두 함수 위에 있어야 하므로 점들을 초록색으로 표현하면 이 점과 이 점이 됩니다 그렇다면, 어떻게 이 점들의 정확한 값을 찾을 수 있을까요 좋은 방법은 한 변수를 다른 변수로 치환 하는 방법입니다 y에 관하여 푼 식이 있으므로 파란 방정식의 y를 이 식에 있는 x + 1로 바꿀 수 있습니다 그래서 x^2 + y^2 = 25 라 하는 것 보다 x^2 + y를 적는 대신 y = x +1 을 대입하면 x^2 + (x+1)^2 = 25 라 할 수 있습니다 그러면 x를 구할 수 있습니다 x^2 + x + 1 을 제곱해서 자주색으로 써보면 x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 가 됩니다 2개의 x^2이 있으니 두 항을 합치면 2 x^2 + 2x +1 = 25가 됩니다 여기서 근의 공식을 쓰면 되는데 여기서 조심해야 하는데 우변을 0으로 만든 후 근의 공식을 써야 합니다 양 변에서 25를 빼면 2x^2 + 2x -24 = 0 입니다 이 식을 간단히 하기 위해서 양 변을 2로 나누면 x^2 + x - 12 = 0 입니다 이 방정식을 풀 때 근의 공식을 쓸 필요도 없습니다 이 식은 인수분해가 가능합니다 곱하면 -12가 나오고 합이 1인 수가 무엇일까요 4와 -3이 이를 만족합니다 그러므로 (x+4)(x-3) = 0 입니다 x = x + 4 = 0 이라면 곱했을 때 0이 되므로 x = -4 이거나 x = 3 이 되어야 합니다 여기서 보면 이 점에서 x = -4이고 이 점에서 x = 3입니다 이제 거의 됬습니다 각각의 경우에 해당하는 y의 값만 구하면 됩니다 그럴 때는 가장 간단한 식을 이용하면 됩니다 y=x+1 x = -4일 때 y는 이 값에 1을 더한 값이므로 y의 값은 -3 이 됩니다 이 점의 좌표는 (-4, -3)이 됩니다 비슷하게, x = 3 라면 y = 4 입니다 그럼 이 점은 (3, 4)가 됩니다 이 두 방법이 바로 비선형 연립방정식의 해법입니다