-1의 제곱근 i

수학을 공부하다 보면 가끔 허수단위 i가 루트 (-1)과 같지 않다고 하는 사람들을 만납니다 그들에게 왜 그렇냐고 이유를 물어보면 그들은 꽤 합당해 보이는 여러 근거를 들어보이곤 합니다 그들은 이렇게 얘기할 것입니다 : "일단 -1로 시작해보죠" "우리는 i의 정의로부터 -1이 i×i와 같다는 걸 알 수 있습니다" 지금까지는 아주 괜찮아 보이네요 그리고 또 말하겠지요 : "자, 만약 위에 써져있는 i=루트(-1)이 맞다고 가정한다면" "우리는 아래 식에서 각각의 i를 루트(-1)로 바꿀 수 있겠죠" "그리고 성립할 거예요" 그러니까 이게 루트(-1) 곱하기 루트(-1)이 된다는 거죠 그 다음 또 그들이 말할 것입니다 "이봐, 루트의 곱셈에 대한 규칙에 의하면" "루트(a×b)가 루트(a)×루트(b)와 같아야 하는데" "그러면 반대로 루트(a)×루트(b)도 루트(a×b) 와 같은 것일테죠" "이러한 규칙을 바탕으로 생각해 보았을 때" "이것은 루트(-1×-1)과 같을 것입니다" "두 수의 곱에 루트를 씌운 것은" "각각의 수의 제곱근을 곱한 것과 같습니다" "이 위에 식에 따라서 하는거예요" "위 식의 좌변과 아래 식의 우변에 있는 것이 같다고 보면 됩니다" "그 다음엔 우리 모두가 알다시피 -1 곱하기 -1은 1이니까" "이것은 루트(1)과 같게 되겠죠" "그리고 루트(1)은 결국" "1이 됩니다" 그러면 그들은 -1과 1은 같지 않으므로 이 식이 틀렸다고 하겠죠 그리고 그 원인은 우리가 i에 루트(-1)을 대입한 것이라고 할겁니다 여기서 중요한 건 우리가 대입한 수는 틀리지 않았다는 겁니다 1과 -1이 같지 않다는 건 명백한 사실이지만 우리가 제곱근의 곱셈에 대한 규칙을 a와 b 모두 음수일 때 썼다는 것이 바로 문제라는 거죠 원래 a와 b가 모두 음수일 때 이 규칙은 절대 성립하지 않습니다 [a와 b 모두는 음수가 될 수 없다] 보통 이 규칙이 주어질 때 함께 주어지는 조건이 있는데, 이 규칙을 처음 배울 때는 별로 필요가 없어서 무시하셨겠지만 아마 이런 조건을 줬을겁니다 : [a와 b는 둘 다 0보다 크거나 같다] 그러니까 이 규칙은 a와 b가 0보다 크거나 같을 때 참이고, a와 b가 모두 음수일 때에는 거짓이라는 거죠 제가 지금까지 약 3분 동안 설명을 드렸듯이 i=루트(-1)이 틀렸다고 하는 사람들은 틀렸어요 하지만 여기서 조심하셔야 할 점이 있는데 제곱근 4라고 하면, 우리는 이것이 2라는 걸 알아요 하지만 사실 생각해보면 4의 제곱근은 두 개 입니다 -2 역시도 4의 (음의) 제곱근이지요 -2 곱하기 -2 역시 4가 된다는 겁니다 여기 이 제곱근 기호가 나타내는 것은 바로 주제곱근입니다 우리가 허수나 복소수 범위가 아닌 실수 범위를 다룰 때에는 그냥 양의 제곱근이라고 봐도 무방하지요 4는 원래 -2와 2 두 개의 제곱근을 가지고 있지만 이렇게 제곱근 기호가 바로 앞에 음의 부호 없이 있다면 그것은 양수 2를 뜻하는 것입니다 그럼 이제 제곱근 속에 음수가 들어갈 때를 생각해보면 혹은 더 나아가 허수와 복소수 등의 범위까지 생각해보면 우리는 이 '제곱근'의 정의가 무엇인지 더 깊이 생각해보아야 합니다 우리가 임의의 음수 -x의 양의 제곱근을 구할 때 그러니까 여기서 제곱근을 실수가 아니라 복소수의 범위에서 볼 때 제곱근 안에 들어가는 수와 제곱근이 의미하는 수 모두가 복소수가 될 수 있다고 할 때 여기서 우리는 위에 i가 루트(-1)과 같다고 가정했으니 루트(-x)는 i 곱하기 루트(x)와 같다고 볼 수 있겠죠 위에서 a와 b가 음수이면 곱셈 규칙이 성립하지 않는다고 했으니까 이 식은 x가 0보다 크거나 같을 때만 성립하게 됩니다 여기서 x가 0보다 크거나 같다고 했으니 -x는 명백히 음수 혹은 0이 되겠네요 그러고 나서 우리는 여기 이것을 적용할 수 있습니다 만약 x가 0보다 작은 수라면 조건에 맞지 않아서 식이 절대로 성립할 수가 없어요 그리고 i는 루트(-1)과 같다고 가정했으니 복소수 범위에서의 제곱근의 규칙에 따라서 이 식은 루트(-1) 곱하기 루트(x)로 다시 쓸 수 있어요 그러니까 이 논리에서 가장 큰 오점은 이 식을 쓰면서 a와 b가 모두 음수라는 것입니다 그리고 그 결과 명백히 틀린 결론이 나는 것이죠 만약 여러분이 제곱근의 정의를 확장시켜서 근호 안에 넣는 수에 음수까지 포함시키고 허수까지 포함시킨다면 우리는 루트(-x)가 루트(-1) 곱하기 루트(x)라고 할 수 있습니다 x가 0보다 크거나 같을 때 말이죠