1. 두 점의 가중평균

지금까지 우리가 다룬 것은 상당히 시각적이고 기하학에 초점이 맞춰졌었죠 좋은 경험입니다 왜냐하면 그것이 아티스트들이 생각하는 방식이거든요 그러나 픽사에서는 컴퓨터 프로그램도 만들어야 하고 컴퓨터들은 그보다는 숫자, 방정식 그리고 대수학이 더 생각하기 적합합니다 그러니 어떻게든 우리는 이 두 세계를 연결해야 합니다 이미지와 기하학의 세계와 대수학, 숫자, 그리고 방정식의 세계를 말이죠 사실, 이 두 세계 사이의 다리는 저를 처음으로 컴퓨터 그래픽으로 끌어들인 것 중 하나입니다 대수학과 기하학이 힘을 합쳐서 아름다운 예술을 만드는 방법이 정말 매력적이라는 것을 발견했죠 그래서 우리가 할 일은 포물선 위에 있는 점들을 정확히 계산할 수 있도록 공식을 발전시키는 일입니다 그리고 그 공식은 컴퓨터 프로그램을 다음과 같이 만들 수 있도록 해서 포물선을 그릴 때 어떤 스트링아트 선들도 그릴 필요가 없도록 합니다 이 공식 연구의 첫 번째 단계는 평균과 중점에 대한 아이디어를 가중 평균에 대한 개념으로 일반화하는 것입니다 자, 선분 AB를 다시 한번 살펴 봅시다 그러나 이번에는 중점을 계산하는 대신에 점 M이 여기 위치하게 계산되도록 B의 가중치가 A의 가중치의 2배가 되게 해 봅시다 B의 가중치가 A의 가중치의 2배라는 것 외에 특별히 다른 조건은 없습니다 중점이 아닌 경우의 간단한 예시죠 대수학에서는 점 M이 1개의 A와 B 2개의 합을 3으로 나누어야 적절한 평균이 될 것이라 할 것입니다 그리고 좀 더 간단하게 적어보면 (A + 2B)/3가 되겠네요 그리고 마지막 형태는 암시적으로 A 앞에 1이 있기 때문에 1/3 A가 되고 B 앞에는 2/3이 있어서 2/3 B가 됩니다 여기서 1/3과 2/3를 더하면 1이 된다는 것에 주목하세요 이것이 적절한 평균을 적는 또 다른 방법입니다 이건 대수적인 내용이었고 기하학 측면에서도 한 번 봅시다 기하학에서는 여기 있는 AM의 길이가 길이에 대해서 2/3 비율을 갖게 되고 MB는 1/3 비를 갖게 된다고 말합니다 대수학에서는 2/3이 B에 붙어있는 것에 비해 기하학에서는 2/3이 B의 반대에 있는 것에 주목해 봅시다 처음에는 이상해 보일 수도 있지만 잘 생각해보면 틀린 말이 아닙니다 왜냐하면 B의 앞에 더 큰 가중치가 있다면 이 점이 B에 더 가까워질 것이란 걸 예상할 수 있기 때문이죠 이 공식을 더 일반화시킬 수 있고 여기 있는 2/3을 임의의 분수로 바꾸어 t라고 부릅시다 그러면 t는 대수식에서 B에 붙게 되겠고 이제 이 식이 평균을 나타내기 위해서는 A의 앞에 무언가 있어야겠군요 t와 합해서 1이 되는 무언가가 말이죠 t와 합해서 1이 되는 무언가는 1-t라는 분수입니다 이제 제 식은 (1-t)A + tB가 되었습니다 이것이 바로 일반화된 대수식입니다 기하학에서 이 2/3은 t로 교체되고 1/3은 1-t로 교체됩니다 응용문제를 사용해서 해당 개념에 대한 감각을 더 키워봅시다 여기 제가 끌어서 이동시킬 수 있는 선분이 있습니다 여러분은 A의 좌표와 B의 좌표를 확인할 수 있고 지금 초기값은 이 점이 중점에 위치하도록 계산되어 있네요 따라서 A와 B는 앞에 1의 절반씩 갖고 있게 됩니다 이제 제가 이 점을 선 위에 있는 곳에 제가 옮기고 싶은 곳으로 이동시켜보면 그에 따라서 t의 값이 변화됩니다 t의 각기 다른 값에 따라서 선분 위의 위치도 달라집니다 다음의 몇 연습문제에서 가중 평균에 대한 개념을 경험해 볼 기회가 여러분에게 있을 겁니다