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주요 내용

1. 두 점의 가중평균

어떻게 두 점간의 가중평균을 계산할 수 있을까요? (이 동영상은 아주 중요하답니다).

동영상 대본

지금까지 우리가 다룬 것은 상당히 시각적이고 기하학에 초점이 맞춰졌었죠 좋은 경험입니다 왜냐하면 그것이 아티스트들이 생각하는 방식이거든요 그러나 픽사에서는 컴퓨터 프로그램도 만들어야 하고 컴퓨터들은 그보다는 숫자, 방정식 그리고 대수학이 더 생각하기 적합합니다 그러니 어떻게든 우리는 이 두 세계를 연결해야 합니다 이미지와 기하학의 세계와 대수학, 숫자, 그리고 방정식의 세계를 말이죠 사실, 이 두 세계 사이의 다리는 저를 처음으로 컴퓨터 그래픽으로 끌어들인 것 중 하나입니다 대수학과 기하학이 힘을 합쳐서 아름다운 예술을 만드는 방법이 정말 매력적이라는 것을 발견했죠 그래서 우리가 할 일은 포물선 위에 있는 점들을 정확히 계산할 수 있도록 공식을 발전시키는 일입니다 그리고 그 공식은 컴퓨터 프로그램을 다음과 같이 만들 수 있도록 해서 포물선을 그릴 때 어떤 스트링아트 선들도 그릴 필요가 없도록 합니다 이 공식 연구의 첫 번째 단계는 평균과 중점에 대한 아이디어를 가중 평균에 대한 개념으로 일반화하는 것입니다 자, 선분 AB를 다시 한번 살펴 봅시다 그러나 이번에는 중점을 계산하는 대신에 점 M이 여기 위치하게 계산되도록 B의 가중치가 A의 가중치의 2배가 되게 해 봅시다 B의 가중치가 A의 가중치의 2배라는 것 외에 특별히 다른 조건은 없습니다 중점이 아닌 경우의 간단한 예시죠 대수학에서는 점 M이 1개의 A와 B 2개의 합을 3으로 나누어야 적절한 평균이 될 것이라 할 것입니다 그리고 좀 더 간단하게 적어보면 (A + 2B)/3가 되겠네요 그리고 마지막 형태는 암시적으로 A 앞에 1이 있기 때문에 1/3 A가 되고 B 앞에는 2/3이 있어서 2/3 B가 됩니다 여기서 1/3과 2/3를 더하면 1이 된다는 것에 주목하세요 이것이 적절한 평균을 적는 또 다른 방법입니다 이건 대수적인 내용이었고 기하학 측면에서도 한 번 봅시다 기하학에서는 여기 있는 AM의 길이가 길이에 대해서 2/3 비율을 갖게 되고 MB는 1/3 비를 갖게 된다고 말합니다 대수학에서는 2/3이 B에 붙어있는 것에 비해 기하학에서는 2/3이 B의 반대에 있는 것에 주목해 봅시다 처음에는 이상해 보일 수도 있지만 잘 생각해보면 틀린 말이 아닙니다 왜냐하면 B의 앞에 더 큰 가중치가 있다면 이 점이 B에 더 가까워질 것이란 걸 예상할 수 있기 때문이죠 이 공식을 더 일반화시킬 수 있고 여기 있는 2/3을 임의의 분수로 바꾸어 t라고 부릅시다 그러면 t는 대수식에서 B에 붙게 되겠고 이제 이 식이 평균을 나타내기 위해서는 A의 앞에 무언가 있어야겠군요 t와 합해서 1이 되는 무언가가 말이죠 t와 합해서 1이 되는 무언가는 1-t라는 분수입니다 이제 제 식은 (1-t)A + tB가 되었습니다 이것이 바로 일반화된 대수식입니다 기하학에서 이 2/3은 t로 교체되고 1/3은 1-t로 교체됩니다 응용문제를 사용해서 해당 개념에 대한 감각을 더 키워봅시다 여기 제가 끌어서 이동시킬 수 있는 선분이 있습니다 여러분은 A의 좌표와 B의 좌표를 확인할 수 있고 지금 초기값은 이 점이 중점에 위치하도록 계산되어 있네요 따라서 A와 B는 앞에 1의 절반씩 갖고 있게 됩니다 이제 제가 이 점을 선 위에 있는 곳에 제가 옮기고 싶은 곳으로 이동시켜보면 그에 따라서 t의 값이 변화됩니다 t의 각기 다른 값에 따라서 선분 위의 위치도 달라집니다 다음의 몇 연습문제에서 가중 평균에 대한 개념을 경험해 볼 기회가 여러분에게 있을 겁니다