보니스: 증명 완성하기

다시 만나서 반갑습니다 이 이야기는 조금 기술적이지만 마침내 포물선 위의 점 P에 대한 공식을 완성하기 위한 필요한 모든 도구를 갖추었습니다 이어가기 전에 다시 돌아가서 왜 이것을 하는지 상기시켜 봅시다 이 영화에서처럼 장면이 정말 효과적으로 구현될 수 있으므로 포물선 위의 그 접점이 필요합니다 그 접점을 통해 풀잎을 나타내기 위한 직선들을 따로 그릴 필요 없이 컴퓨터 프로그램으로 작성할 수 있기 때문입니다 공식으로 돌아와서 점의 이름을 붙여줍니다 이 자홍색 직선은 매개변수 t가 조종합니다 이 점은 Q, 이 점은 R입니다 이 점은 Q, 이 점은 R입니다 보라색 직선은 매개변수 s가 조종합니다 이 점을 Q' 이 점을 R'이라고 하겠습니다 이제 알고 있는 것들을 적어봅시다 선분 AB 위의 Q는 t로 나타낼 수 있습니다 Q = (1-t)A + tB이죠 Q = (1-t)A + tB이죠 마찬가지로 선분 BC 위의 R을 R = (1-t)B +tC로 나타낼 수 있습니다 R = (1-t)B +tC로 나타낼 수 있습니다 Q'은 선분 AB 위에 있으므로 Q' = (1-s)A + sB입니다 Q' = (1-s)A + sB입니다 마지막으로 R' = (1-s)B +sC입니다 마지막으로 R' = (1-s)B +sC입니다 여기 두 선분의 교점 P는 여기 두 선분의 교점 P는 선분 QR 위에 있습니다 그런데 선분 위에서 정확히 어디에 있을까요? 바로 증명해 보겠습니다 매개변수 s에 대하여 P = (1-s)Q + sR입니다 P = (1-s)Q + sR입니다 P = (1-s)Q + sR입니다 이게 사실이라면 멋진 일이 펼쳐집니다 s가 t에 가까워질수록 이 식은 (1- t)Q + tR 에 가까워집니다 이 식은 (1- t)Q + tR 에 가까워집니다 이것이 제가 궁극적으로 증명하고자 하는 바입니다 이제 남은 것은 교점을 이렇게 표현하는 것입니다 왜 그래야 하나요? 이 Q를 이 식의 Q에 대입합니다 이 Q를 이 식의 Q에 대입합니다 이 R을 이 식의 R에 대입하고요 이를 정리하면 여러분에게 맡길게요 정리한 결과는 다음과 같습니다 P = (1-s)(1-t)A + (s(1-t) + t(1-s))B + stC P = (1-s)(1-t)A + (s(1-t) + t(1-s))B + stC P = (1-s)(1-t)A + (s(1-t) + t(1-s))B + stC P = (1-s)(1-t)A + (s(1-t) + t(1-s))B + stC 이 식을 Q'과 R'으로 나타내면 이 식을 Q'과 R'으로 나타내면 P = (1-t)Q' + tR'입니다 P = (1-t)Q' + tR'입니다 이 식에 따르면 P는 선분 Q'R' 위에 있습니다 그리고 이 식에 따르면 P는 선분 QR 위에 있습니다 두 선분 위에 동시에 존재할 수 있는 유일한 점은 교점입니다 증명이 끝났습니다 명중!