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주요 내용

보너스: 카사쥬의 알고리즘를 이용한 공식

심화 질문: 카사쥬의 알고리즘으로 만든 각도가 n인 곡선의 공식을 구할 수 있나요?

선분의 매개변수 방정식

카스테쥬 알고리즘의 첫 번째 단계로는 선분 위에 점 t를 정의합니다. 예를 들어 점 start color #6495ed, A, end color #6495edstart color #6495ed, B, end color #6495ed 사이에 점 P, left parenthesis, t, right parenthesis를 정의합니다.
이 점의 식은 다음과 같습니다:
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, start color #6495ed, A, end color #6495ed, plus, t, start color #6495ed, B, end color #6495ed
점 A와 B 사이에 있는 선분
t0에서 1로 가까워지면 P, left parenthesis, t, right parenthesisstart color #6495ed, A, end color #6495ed에서 start color #6495ed, B, end color #6495ed로 옮겨갑니다. 식이 일차식이기 때문에 선분은 차수가 1인 곡선입니다.

차수가 2인 곡선

차수가 2인 곡선을 만든다면(포물선), start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed 세 점을 사용하게 됩니다
점 A,B,C를 사용해 정의된 포물선 호
이제 이 점의 공식을 만들어 봅시다:
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, squared, start color #6495ed, A, end color #6495ed, plus, 2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t, start color #6495ed, B, end color #6495ed, plus, t, squared, start color #6495ed, C, end color #6495ed

차수가 3인 곡선

네 점 start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed, start color #6495ed, D, end color #6495ed를 사용해 차수가 3인 곡선을 만든다면 이 점의 방정식은 start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed, start color #6495ed, D, end color #6495ed를 이용해 나타낼 수 있을까요?
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

차수가 4인 곡선

5개의 점 start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed, start color #6495ed, D, end color #6495ed, start color #6495ed, E, end color #6495ed를 사용해서 차수가 4인 곡선을 만든다면 어떻게 될까요?
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

차수가 n인 곡선

이제 규칙을 파악하고 n, plus, 1개의 점 start color #6495ed, A, start subscript, 0, end subscript, end color #6495ed, comma, start color #6495ed, A, start subscript, 1, end subscript, end color #6495ed, comma, point, point, point, comma, start color #6495ed, A, start subscript, n, minus, 1, end subscript, end color #6495ed, comma, start color #6495ed, A, start subscript, n, end subscript, end color #6495ed을 사용해서 차수가 n인 곡선을 나타내는 식을 세워봅시다.
각 식의 첫 번째 항을 본 다음에 규칙을 찾을 수 있는지 알아보세요.
차수가 n인 곡선에서 start color #6495ed, A, start subscript, 0, end subscript, end color #6495ed의 계수는 얼마일까요?

각 식의 마지막 항을 본 다음에 규칙을 찾을 수 있는지 알아보세요.
차수가 n인 곡선에서 start color #6495ed, A, start subscript, n, end subscript, end color #6495ed의 계수는 얼마일까요?

이제 가장 어려운 부분입니다: 식들이 나머지 항을 보세요. 각 항들은 다음을 포함하고 있습니다:
  1. 상수항
  2. 지수 left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis
  3. 지수 t
예를 들어 차수가 2인 곡선에서 항 start color #6495ed, A, start subscript, 1, end subscript, end color #6495ed2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t이고 상수항은 2이며 left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis의 지수는 1이고, t의 지수는 1입니다.
차수가 n인 곡선의 식에서 항 start color #6495ed, A, start subscript, i, end subscript, end color #6495ed의 계수는 다음과 같습니다:
left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis의 지수는 얼마일까요?

t의 지수는 얼마일까요?

보너스 응용 문제

상수항 start color #6495ed, A, start subscript, i, end subscript, end color #6495ed의 공식을 구할 수 있나요? 이를 구한 다음에 모든 식을 조합해서 차수가 n인 곡선의 P, left parenthesis, t, right parenthesis 공식을 구할 수 있나요?