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밥은 여러 색상의 구슬을 이용한 귀걸이를 그의 가게에서 직접 만들어 팔면서 매우 흥미로운 것을 발견했습니다 그의 고객들은 제품들이 다양한 것을 좋아하기 때문에 밥 은 각 사이즈별로 가능한 모든 무늬를 만들기로 합니다 먼저 3개의 구슬로 만들 수 있는 모든 경우의 무늬를 구성해보려 합니다 구슬을 한 줄로 늘어놓은 다음 원형으로 만들기 위해 양끝을 서로 붙입니다 그럼 첫번째로 몇 종류의 줄을 만들 수 있을까요? 두 가지 색상의 구슬 3개로 만들어 보면 매 선택마다 두 가지 색상중 하나를 이용하므로 2 x 2 x 2 = 8 개의 서로 다른 무늬의 줄을 만들 수 있습니다 그러고 나서 단색으로만 이루어진 줄을 뺍니다 다양한 색상으로 이루어진 귀걸이만 필요하니까요 밥은 원형으로 만들기 위해 구슬들을 붙입니다 작업을 마친 후 6개의 다른 귀걸이가 나오리라 생각했는데 그렇지 않았죠 그 중 대부분이 똑같아 졌거든요 결과적으로 그는 두 가지 종류만 만들 수 있었는데 이유는 각 무늬가 두 개의 동일한 짝으로 맺어진 그룹에 속하게 되었기 때문입니다 회전을 기반으로 해서 구슬의 무늬를 서로 짝지을 수 있다는 것을 알아야 합니다 그러므로 이런 그룹의 크기는 원래의 무늬로 돌아가기 위해 필요한 회전수나 한 주기를 완성하기 위해 필요한 회전수에 기반을 둬야 합니다 이 말은 원래의 다양한 색구슬 줄들이 결국은 똑같이 각각 세 개의 구성원을 갖는 그룹으로 나눠진다는 거죠 그럼 이것이 다른 갯수의 구슬에도 적용이 될까요? 그렇다면 밥에게도 편리할 것 같네요 밥은 각 무늬를 같은 개수로 만들고 싶어합니다 이제 네 개의 구슬로 해보려 합니다 먼저 2가지 색상의 4개의 구슬을 이용해 가능한 모든 줄을 만들고 각 구슬마다 두가지 선택이 가능하므로 2 x 2 x 2 x 2 = 16 가지가 생기고 그러고나서 단색으로 이루어진 것을 제외합니다 이제 줄을 원으로 붙입니다 이것들이 같은 갯수를 가진 그룹이 될까요? 확실히 아니네요 이것은 왜일까요? 최초의 줄들이 어떻게 다른 무늬로 나뉘었나 보세요 같은 무늬의 줄들 이라면 줄의 이쪽 끝을 끌어당겨 반대쪽 끝에 붙이기만 하면 동일한 패턴으로 만들 수 있다는 것을 의미합니다 그리고 두 개의 구성원을 갖는 한 그룹이 있는데 이것은 두개의 구슬로 만들어진 무늬가 반복되어 만들어졌기 때문입니다 결과적으로 한 주기를 만들기 위해 두 번의 회전만이 필요했던 것이죠 그래서 이 그룹에는 2개만 존재합니다 그는 동일한 갯수의 그룹으로 나눌 수 없습니다 그럼 다섯 개의 구슬은 어떻게 될까요? 각 무늬마다 같은 숫자로 나누어질까요? 잠시만요 그는 그걸 알아내기 위해 굳이 직접 만들어볼 필요가 없다는걸 깨닫습니다 당연히 그렇게 되겠죠 왜냐하면 숫자 5는 같은 수로 나눠지지 않으니 5개의 구슬에서는 반복되는 패턴이 없을테니까요 이것은 소수 입니다 그러므로 어떤 종류의 줄로 시작하더라도 원래의 모양으로 돌아오려면 5번 회전을 하거나 구슬의 위치 바꿈이 일어납니다 각 줄마다 회전수는 다섯 번이 될겁니다 확인해 볼까요? 먼저 가능한 모든 무늬를 만들어 볼겁니다 그리고 같은 색깔의 줄을 제거합니다 그 다음 같은 무늬의 구슬끼리 모읍니다 이제 각 무늬에 맞는 귀걸이를 만듭니다 각 무늬마다 정확하게 다섯번 회전했을 때에 한 주기가 완성된다는 걸 알 수 있습니다 그래서 만약 모든 줄을 원형으로 만든다면 그것은 모두 같은 개수를 가진 그룹들로 나뉘어질 것입니다 그런데 밥은 한 단계 더 나아갔습니다 지금까지 밥은 두 가지 색깔만 사용해왔죠 밥은 이게 귀걸이를 이루는 색의 개수와 상관 없다는 것을 알았습니다 색의 개수와는 상관없이 소수 P의 구슬 개수로 이루어진 다색상의 귀걸이는 P만큼의 주기 길이를 가지기 때문입니다 소수는 같은 수의 단위로 나눠지지 않기 때문이죠 하지만 숫자 6 같은 합성수의 구슬이 사용된다면 회전수가 짧은 몇몇 줄들이 존재하게 됩니다 그들 내에 반복되는 패턴이 존재하므로 더 작은 숫자 구성원의 그룹을 형성하게 됩니다 그리고 놀랍게도 밥은 페르마의 소정리를 우연히 마주쳤습니다 a = 색상의 개수 p = 소수인 줄의 길이 라고 주어진 조건에서 가능한 모든 줄의 개수는 a 자신을 p 숫자만큼 곱한것 a 의 p 제곱이 됩니다 그리고 단색으로 이루어진 줄을 제외할 때는 줄을 정확히 a 갯수 만큼을 뺍니다 각 색상마다 하나가 존재하기 때문이죠 여기까지는 a^p - a 의 계산식을 갖게 되었습니다 이제 구슬들을 붙여서 원으로 만들고 나면 p 갯수만큼의 구성원을 갖는 그룹들로 나눠질 겁니다 각 귀걸이들의 한 주기당 길이가 p 이니까요 그러므로 (a^p - a) 나누기 p 를 하면 되네요 다 되었습니다 우리는 이것을 모듈러 연산에도 쓸 수 있는데 만일 a의 p 제곱승을 p로 나눈다면 나머지는 a가 될겁니다 그러므로 우리는 a의 p 제곱승은 a ( mod ) p 와 형태가 같다고 쓸 수 있습니다 우리는 단지 구슬을 가지고 놀았을 뿐인데 정수론의 기초가 된 개념 중의 하나를 우연히도 마주치게 된 것입니다